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邱关源《电路》第 6 版 · 第 13 章（教材第 14、16 章）
复频域分析与二端口网络 —— 30 分钟速通
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适用对象：学完第 1~12 章（这是全书的收尾章）
预计用时：30 分钟（拉普拉斯只需会用，二端口重点在选参数）
教材对应：第 14 章（拉普拉斯变换）+ 第 16 章（二端口网络）
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全章地图：这一章到底在讲什么
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前面十二章用了三套工具：
直流电路 → 实数运算
正弦稳态 → 相量法（jω，复数）
动态电路 → 三要素法（只适用一阶、只适用直流激励）
这一章给出一套【通吃一切】的工具：拉普拉斯变换。
微分方程 → 代数方程
初始条件 → 自动打包进电路
任意激励 → 一律能算
外加一个"看内部"的工具：二端口网络（只看端口，不管里面）。
一共五件事：
① 拉普拉斯变换：三条对应关系 （14-1、14-2）
② 运算电路：L、C 的 s 域模型 （14-2）
③ 用拉普拉斯解动态电路（含部分分式） （14-3）
④ 网络函数与零极点（稳定性的判据） （14-4）
⑤ 二端口网络的四种参数 （16-1）
时间表：
0 - 5 min 第 1 站 拉普拉斯变换：只需要三条对应
5 - 10 min 第 2 站 运算电路
10 - 17 min 第 3 站 解题四步 + 部分分式
17 - 22 min 第 4 站 网络函数与零极点
22 - 27 min 第 5 站 二端口网络
27 - 30 min 第 6 站 贯穿实例 + 全书收尾
★★ 贯穿全章的实例（还是第 7 章那个 RC 电路）★★
R = 1kΩ、C = 1μF、Us = 10V，求 uC(t)。
第 7 章用三要素法：uC(t) = 10(1 − e^(−t/τ))，τ = RC = 1ms。
这一章用拉普拉斯重算：
Uc(s) = 10000/[s(s+1000)] = 10/s − 10/(s+1000)
uC(t) = 10 − 10e^(−1000t) = 10(1 − e^(−t/τ))
★ 答案一模一样。区别在于：
三要素法是"背结论"（只对直流激励的一阶电路有效），
拉普拉斯是"推出来"（任意激励、任意阶数都能用）。
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第 1 站（0-5 min） 拉普拉斯变换：只需要三条对应
对应教材 14-1、14-2
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【定义（知道就行，不用手算积分）】
F(s) = ∫[0→∞] f(t)·e^(−st) dt
s 是一个复数（s = σ + jω），叫【复频率】。
你不需要会算这个积分 —— 考试用的都是现成的变换对。
【三条核心对应（这才是要背的）】
① f(t) → F(s) （定义）
② df/dt → s·F(s) − f(0⁻) （求导 → 乘 s）
③ ∫f dt → F(s)/s （积分 → 除 s）
★ 第 ② 条是它最厉害的地方：求导变成乘法，
而且 f(0⁻) 自动被带进来了 —— 初始条件不用另想办法。
【常用变换对（四个就够）】
δ(t) → 1
ε(t) → 1/s （单位阶跃）
e^(−at) → 1/(s+a)
t → 1/s²
sin ωt → ω/(s²+ω²)
cos ωt → s/(s²+ω²)
【用它的三步流程】
① 把电路"搬"到 s 域（微分方程变成代数方程）
② 在 s 域解出 U(s)（就是普通的代数运算）
③ 反过来变回时域 u(t)（查表 + 部分分式）
第 2 站讲①，第 3 站讲②③。
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第 2 站（5-10 min） 运算电路：L、C 的 s 域模型
对应教材 14-2
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把第 8 章的 jω 换成 s，就得到【运算阻抗】：
Z_R = R
Z_L = sL
Z_C = 1/(sC)
但还有一件事要处理：【初始条件】。
【L 和 C 的运算电路（记这两个）】
电感（初始电流 i(0⁻)）：
等效为 sL 串联一个电压源 L·i(0⁻)
电容（初始电压 u(0⁻)）：
等效为 1/(sC) 串联一个电压源 u(0⁻)/s
★ 关键理解：初始条件不是"额外的条件"，而是被【打包成了电路里的电源】。
于是你就按普通电路算，不用再操心初始值。
【零初始条件时的简化】
如果 i(0⁻) = 0 且 u(0⁻) = 0（最常见的情况），
那两个附加电源就是 0（短路），运算电路里只剩阻抗：
R、sL、1/(sC) —— 和相量法完全一样，只是 jω 换成 s
这时 s 域电路就是一个"用符号 s 组成的电阻电路"，
节点法、分压、戴维南全都能用。
【直流稳态的校验（自检用）】
s = 0 时：
Z_L = 0 → 电感短路 ✓（第 6 章）
Z_C → ∞ → 电容开路 ✓（第 6 章）
所以"终值定理"给出的稳态与第 6 章的结论一致，
说明这套方法自洽。
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第 3 站（10-17 min） 解题四步 + 部分分式
对应教材 14-3
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【四步】
① 画运算电路（L、C 换成阻抗 + 初始值电源）
② 用节点法/网孔法/戴维南在 s 域解出 U(s)
得到的通常是【s 的有理式】（分子分母都是多项式）
③ 把 U(s) 做【部分分式展开】成若干简单项
④ 逐项查表反变换，得到 u(t)
【第 ③ 步是关键：部分分式】
设 U(s) = N(s)/D(s)，把分母因式分解后拆成：
U(s) = A/(s−p₁) + B/(s−p₂) + …
系数怎么求（留数法，最快）：
A = (s−p₁)·U(s) 在 s = p₁ 处的值
每一项 A/(s−p) 反变换就是 A·e^(pt)，所以：
u(t) = A·e^(p₁t) + B·e^(p₂t) + …
★ 分母有重根、有共轭复根时形式略有不同（了解即可，
复根那一对反变换出来是"e^(−αt)·sin(ωt)"的形式，就是第 7 章的欠阻尼）。
【贯穿实例走一遍（这是本章唯一必会的计算）】
电路：Us = 10V、R = 1kΩ、C = 1μF，求 uC(t)。
① 运算电路：电压源 Us/s，串 R 和 1/(sC)
② s 域分压：
Uc(s) = (Us/s) · (1/sC) / (R + 1/sC)
= (10/s) · [1/(sC)] / [R + 1/(sC)]
= 10/s · 1/(1 + sRC)
= 10 / [s(1 + 0.001s)]
= 10000 / [s(s + 1000)]
③ 部分分式：设 = A/s + B/(s+1000)
A = s·Uc(s) 在 s=0 处 = 10000/1000 = 10
B = (s+1000)·Uc(s) 在 s=−1000 处 = 10000/(−1000) = −10
所以 Uc(s) = 10/s − 10/(s+1000)
④ 反变换（查表：1/s → ε(t)，1/(s+a) → e^(−at)）：
uC(t) = 10 − 10e^(−1000t) = 10(1 − e^(−t/τ))，τ = 1/1000 = 1ms
★ 与第 7 章三要素法的结果完全一致 ✓
（我逐点验算过：t = 1τ 时两者都是 6.32121V）
【这个方法比三要素法强在哪】
· 任意激励（正弦、指数、分段）都能算
· 任意阶数（二阶、三阶）都能算
· 初始条件自动带入，不用单独处理
· 系统化的步骤，不需要"猜特解"
代价是：要会因式分解和部分分式（就是代数功夫）。
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第 4 站（17-22 min） 网络函数与零极点
对应教材 14-4
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【网络函数】
定义和相量法一样，只是把 jω 换成 s：
H(s) = 响应的拉氏变换 / 激励的拉氏变换
它是有理式 H(s) = N(s)/D(s)：
N(s) = 0 的根叫【零点】
D(s) = 0 的根叫【极点】
【极点的含义：形状 + 稳定性】
H(s) 的极点 p = σ + jω 决定了响应的形态：
实部 σ < 0（左半平面）→ e^(σt) 衰减 → 【稳定】
实部 σ > 0（右半平面）→ e^(σt) 增长 → 【发散】
实部 σ = 0（虚轴上） → 等幅振荡 → 【临界】
虚部 ω 决定振荡频率（ω=0 就是单调变化，不振荡）
【和前面章节的对应（这张表能把全书串起来）】
一阶 RC：H(s) = 1/(1+sRC)，极点 s = −1/τ
→ 第 7 章的 τ，就是极点的倒数（取负）
二阶 RLC：极点 = −α ± j√(ω0²−α²)
→ 第 7 章的 α、ω0 直接就是零极点的实部和虚部！
★ 所以"三要素法""二阶判别法""零极点图"是同三件事的三种说法。
【一阶系统的一个好记结论】
τ = −1 / （极点的实部）
贯穿实例：极点 s = −1000 ⟹ τ = 1/1000 = 1ms ✓ 与 RC = 1ms 一致
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第 5 站（22-27 min） 二端口网络
对应教材 16-1
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【什么是二端口】
一个有四个端子的网络，分成两个端口：
端口 1：电压 U̇1、电流 İ1
端口 2：电压 U̇2、电流 İ2
只关心这四个量之间的关系，【内部是什么完全不管】。
判断标准：从端口 1 流进的电流 = 从端口 1' 流出的电流（端口条件成立）。
【四种参数（只是选了不同的自变量）】
Z 参数（阻抗参数）：以 İ1、İ2 为自变量
U̇1 = Z11·İ1 + Z12·İ2
U̇2 = Z21·İ1 + Z22·İ2
Y 参数（导纳参数）：以 U̇1、U̇2 为自变量（Z 的逆）
T 参数（传输参数）：以 U̇2、İ2 为自变量（描述"传输"最方便）
H 参数（混合参数）：以 İ1、U̇2 为自变量（晶体管最常用）
★ 四种参数描述的是同一个网络，可以互相转换。
做题时看给的是什么，就用什么。
【两个必记的性质】
① 互易网络（不含受控源）：Z12 = Z21（其它参数也有对应关系）
→ 四个参数只剩三个独立
② 对称网络（左右一样）：Z11 = Z22
→ 只剩两个独立
【校验技巧】算完 Z12 和 Z21，如果它们不相等而电路里没有受控源，
说明算错了 —— 这是最快的自检。
【T 形网络的 Z 参数（最简单的例子，务必会）】
串臂 Z1、Z2，并臂 Z3（组成 T 形，三个元件、三个节点）：
Z11 = Z1 + Z3
Z12 = Z21 = Z3
Z22 = Z2 + Z3
贯穿实例：Z1=10Ω、Z2=20Ω、Z3=30Ω
Z11 = 40、Z12 = Z21 = 30、Z22 = 50
校验（输出短路）：Zin = Z1 + Z2∥Z3 = 10 + 12 = 22Ω
用 Z 参数算：Z11 − Z12²/Z22 = 40 − 900/50 = 40 − 18 = 22Ω ✓ 一致
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第 6 站（27-30 min） 贯穿实例 + 全书收尾
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【把本章实例再串一遍】
R = 1kΩ、C = 1μF、Us = 10V：
运算电路：Us/s 串 R 与 1/(sC)
Uc(s) = 10000/[s(s+1000)]
部分分式：10/s − 10/(s+1000)
uC(t) = 10 − 10e^(−1000t)
极点 s = −1000 ⟹ τ = 1ms ⟹ 与第 7 章一致 ✓
【全书知识地图（这是学完 13 章的完整图景）】
第 1 章 电路模型、参考方向、KCL/KVL ← 一切的地基
第 2 章 等效变换（串并联、Y-Δ、电源互换） ← 化简手段
第 3 章 一般分析法（节点法、网孔法） ← 通用解法
第 4 章 电路定理（叠加、戴维南、最大功率） ← 一步到位
第 5 章 运放（虚短虚断） ← 特殊器件
第 6 章 储能元件（C、L） ← 动态的源头
第 7 章 一阶/二阶电路的时域分析（三要素法） ← 暂态过程
第 8 章 相量法与正弦稳态 ← 交流的语言
第 9 章 耦合电感与变压器 ← 磁耦合
第 10 章 频率响应与谐振 ← 选频
第 11 章 三相电路 ← 工业电力
第 12 章 非正弦周期（傅里叶分解） ← 任意波形
第 13 章 复频域与二端口 ← 统一一切
★ 从"解方程"（3、4 章）到"看暂态"（7 章）到"复数域"（8 章）
到"频率域"（10 章）到"复频域"（13 章），
每一步都是把问题换到一个"更好算的世界"里。
这就是电路分析的全部思想：变换 + 求解 + 变回来。
【三条主线串联全书】
主线一：等效
2 章（等效变换）→ 4 章（戴维南）→ 9 章（变压器）→ 16 章（二端口）
"从外面看，里面是什么不重要"
主线二：频率
6 章（C、L）→ 8 章（相量）→ 10 章（谐振）→ 12 章（傅里叶）→ 13 章（拉普拉斯）
"同一个电路，对不同频率态度不同"
主线三：动态
6 章（储能的本质）→ 7 章（一阶二阶）→ 13 章（拉普拉斯统一）
"过去的状态决定了现在的变化"
把这三条主线想清楚，整本书就不再是一堆公式，而是一个完整的故事。
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自测：12 题检验这一章
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1. 拉普拉斯变换定义式？s 是什么？
2. 求导的拉氏对应是什么？它为什么能自动处理初始条件？
3. 电感和电容的运算阻抗分别是什么？
4. 初始电流 i(0⁻) 在运算电路里怎么体现？
5. 用拉普拉斯解题的四步是什么？
6. 部分分式的系数怎么求（留数法）？
7. 1/s 和 1/(s+a) 的反变换分别是什么？
8. 极点的实部和虚部分别决定什么？
9. "极点 s = −1000"对应的时间常数是多少？
10. 二端口 Z 参数的定义式？互易和对称各有什么性质？
11. T 形网络的 Z 参数怎么求？
12. 用拉普拉斯求 RC 电路（R=1k、C=1μF、Us=10V）的 uC(t)。
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参考答案
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1. F(s) = ∫₀^∞ f(t)e^(−st)dt；s 是复频率（s = σ + jω）。
2. df/dt → sF(s) − f(0⁻)。因为变换式里自动出现了 f(0⁻) 这一项。
3. Z_L = sL，Z_C = 1/(sC)。
4. 变成与电感串联的电压源 L·i(0⁻)（电容则是 u(0⁻)/s）。
5. ① 画运算电路；② s 域求解；③ 部分分式展开；④ 查表反变换。
6. 对极点 p，系数 A = (s−p)F(s) 在 s=p 处的值。
7. 1/s → ε(t)（单位阶跃）；1/(s+a) → e^(−at)。
8. 实部决定衰减/增长（稳定性），虚部决定振荡频率。
9. τ = −1/Re(p) = 1/1000 = 1ms。
10. U̇1 = Z11İ1 + Z12İ2，U̇2 = Z21İ1 + Z22İ2。
互易：Z12 = Z21；对称：Z11 = Z22。
11. Z11 = Z1+Z3，Z12 = Z21 = Z3，Z22 = Z2+Z3（T 形，串臂 Z1、Z2，并臂 Z3）。
12. Uc(s) = 10000/[s(s+1000)] = 10/s − 10/(s+1000) → uC(t) = 10(1 − e^(−1000t)) V。
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本章最容易犯的 6 个错
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1. 忘了把初始条件放进运算电路
i(0⁻)≠0 或 u(0⁻)≠0 时，必须加上那个附加电压源，否则结果全错。
2. 部分分式系数算错
用留数法（代入极点）最快，算完代回一个数验算。
3. 反变换漏掉单位阶跃
1/s 反变换是 ε(t)，不是常数 1。严格来说所有响应都乘 ε(t)（表示 t>0 才有）。
4. 认为极点越靠近虚轴越稳定
反过来：极点【越远离】虚轴（实部越负），衰减越快、越稳定。
5. 二端口互易/对称混为一谈
互易：Z12 = Z21（不含受控源才有）；对称：Z11 = Z22（左右一样才有）。
对称一定互易，互易不一定对称。
6. 用 jω 分析瞬态
相量法（jω）只对【稳态正弦】有效。要算暂态必须用 s（拉普拉斯）。
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全书结束语
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十三周、十三章，其实只学了一件事：
【把复杂的问题，换到一个更容易的世界里解决，再换回来。】
直流 → 实数；正弦稳态 → 相量（复数）；暂态 → s 域（复频率）；
任意周期信号 → 傅里叶（频率分解）。
电路分析的所有技巧，无非是选对"换到哪个世界"。
如果你现在能对着一个陌生的电路，先问自己三个问题：
① 它是直流、正弦还是任意波形？
② 是稳态还是暂态？
③ 用等效、用定理、还是列方程最省事？
那这本书你就真的学进去了。
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零极点图与流程图已设置避免跨页断开，正文按 10pt 排版。