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邱关源《电路》第 6 版 · 第 12 章（教材第 13 章）
非正弦周期电流电路 —— 30 分钟速通
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适用对象：学完第 1~11 章（尤其第 8 章相量法）
预计用时：30 分钟（本章没有新公式，全是第 8 章相量法的重复应用）
教材对应：第 13 章 13-1 ~ 13-4
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全章地图：这一章到底在讲什么
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前面所有章节都假设激励是"纯正弦"的。
但现实里几乎没有纯正弦：方波、三角波、整流后的波形、开关电源的电流……
这一章只回答一个问题：
激励不是正弦的时候，还能不能用相量法？
答案：能，但要用【N 次】。
把非正弦波拆成"直流 + 基波 + 各次谐波"，
再对每个频率单独用一次相量法，最后把结果叠回去。
所以这一章【没有新公式】，它是第 8 章相量法的批量应用。
一共五件事：
① 周期信号分解为傅里叶级数 （13-1）
② 频谱图：从"时域"换到"频域"看 （13-1）
③ 有效值与平均功率的求法 （13-2） ← 最易错
④ 各次谐波下的阻抗（L 挡高频、C 通高频） （13-3）
⑤ 四步计算法 （13-4）
时间表：
0 - 5 min 第 1 站 傅里叶分解与频谱
5 - 11 min 第 2 站 有效值与平均功率
11 - 16 min 第 3 站 各次谐波下的阻抗
16 - 21 min 第 4 站 四步计算法
21 - 26 min 第 5 站 三个最容易错的地方
26 - 30 min 第 6 站 贯穿实例 + 自测
★★ 贯穿全章的实例（数值特意配成 141）★★
一个非正弦周期电流：
i(t) = 5 + 10√2·cos(ωt) + 4√2·cos(3ωt) (A)
即：直流分量 5A，基波有效值 10A，三次谐波有效值 4A，
通过 R = 10Ω 的电阻。
· 总有效值：I = √(5² + 10² + 4²) = √141 ≈ 11.87A
★ 不是 5+10+4 = 19A！
· 平均功率：P = I²R = 141 × 10 = 1410W
逐项校验：P = 5²×10 + 10²×10 + 4²×10 = 250 + 1000 + 160 = 1410W ✓
这两个式子就是本章的全部内容。剩下的都是它的应用。
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第 1 站（0-5 min） 傅里叶分解与频谱
对应教材 13-1
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【一个数学工具：傅里叶级数】
任何【周期函数】（只要满足很宽的条件），都可以拆成一堆正弦之和：
f(t) = A₀ + Σ[k=1→∞] Ak·cos(kω₁t + φk)
其中：
A₀ 直流分量（一个周期内的平均值）
k = 1 【基波】（频率就是原来的 ω₁）
k ≥ 2 【谐波】（k 次谐波，频率是 kω₁）
ω₁ 叫基波角频率，谐波都是它的整数倍。
【三个常见波形的分解（背下来能省很多时间）】
① 方波（幅值 A，奇对称）：
f(t) = (4A/π)[sin ωt + (1/3)sin ωt·3 + (1/5)sin 5ωt + …]
特点：【只有奇次谐波】，第 k 次幅值 ∝ 1/k
② 三角波：
只有奇次谐波，第 k 次幅值 ∝ 1/k²（衰减比方波快得多）
③ 全波整流后的正弦：
含有直流分量 + 偶次谐波
★ 记住两条规律：
· 波形越"方"（跳变越陡），高次谐波越多
· 波形越"圆滑"，高次谐波越少
【为什么必须分解】
因为电路的阻抗随频率变（ωL、1/ωC），
同一个电路对不同频率的响应完全不同。
不分解就没法算；分解之后，每个频率都是一个简单的相量问题。
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第 2 站（5-11 min） 需要先建立的一个概念：频谱
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把各次谐波的幅值按频率排开画成柱状图，就叫【频谱】。
时域：横轴是时间，看的是一条曲线怎么变
频域：横轴是频率，看的是"由哪些频率成分组成、各占多少"
这两者是同一件事的两种画法，信息完全等价。
【为什么要看频域】
因为很多问题在频域里一目了然：
· 想做一个"只让 1kHz 通过"的滤波器 → 看频谱就知道要挡掉哪些频率
· 想知道一个方波经过低通滤波后还剩什么 → 看频谱就知道高次谐波被削掉了
工程上（示波器的 FFT 功能、频谱仪）都是这个思路。
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第 3 站（11-16 min） 有效值与平均功率：本章最易错的地方
对应教材 13-2
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【★ 有效值：平方和再开方，不是直接相加】
I = √( I₀² + I₁² + I₂² + … )
其中 I₀ 是直流分量（有效值就是它自己），
I₁、I₂… 是各次谐波的有效值（幅值除以 √2）。
为什么？因为有效值的定义是"发热等效"，
而功率与电流的平方成正比，不同频率之间是【正交】的
（一个周期内的积分为零），所以每一份的平方各自贡献、互不干扰。
贯穿实例：I₀=5、I₁=10、I₃=4
I = √(25 + 100 + 16) = √141 ≈ 11.87A
★ 如果直接相加 5+10+4 = 19A，就【高估】了近 60%
【★ 平均功率：各次谐波的功率直接相加】
P = P₀ + P₁ + P₂ + …
= U₀I₀ + Σ Uk·Ik·cosφk
这里 φk 是第 k 次谐波电压与电流的相位差（就是该次谐波下的阻抗角）。
为什么功率可以直接加而有效值不能？
因为功率是"各次谐波各自产生的平均值"，它们之间没有交叉项
（不同频率的电压与电流乘积，一个周期内平均为零）。
这叫【正交性】——这是本章最核心的一条数学事实。
贯穿实例（纯电阻，各次 cosφk = 1）：
P = 5²×10 + 10²×10 + 4²×10 = 250 + 1000 + 160 = 1410W
用总有效值校验：P = I²R = 141 × 10 = 1410W ✓ 一致
【平均值的另一个意思】
有时"平均值"指【整流平均值】，即 |f(t)| 一个周期的平均，
常用于测量（万用表的 AC 档测的就是整流平均值再换算成有效值）。
做题时看清楚问的是哪个。
【一条重要提醒】
【不同频率的电压与电流不产生平均功率】。
比如一个 50Hz 的电压加在一个只含 100Hz 电流的元件上，
平均功率是零。所以功率只能"同频率配对"后相加。
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第 4 站（16-21 min） 各次谐波下的阻抗
对应教材 13-3
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这是本章唯一"需要动手"的地方：同一个元件，对不同频率的阻抗不同。
XL(k) = k·ω₁L = k·XL1 ← 与 k 【成正比】（越高越挡）
XC(k) = 1/(k·ω₁C) = XC1/k ← 与 k 【成反比】（越高越通）
所以：
· 电感对高次谐波是"阻挡"的 → 高通/低通滤波里串电感挡高频
· 电容对高次谐波是"短路"的 → 旁路电容就是这么用的
【★ 直流分量（k=0）要单独处理】
直流时 ω = 0：
XL(0) = 0 → 电感相当于【短路】（导线）
XC(0) = ∞ → 电容相当于【开路】（断开）
所以直流分量不能用 jω 去算，要回到第 6 章的"直流稳态"处理。
【贯穿实例中的体现】
若这个电路里串了一个电容，直流分量 5A 就【根本流不过去】，
那么 I₀ 应该为 0，总有效值就变成 √(0+100+16) = √116 ≈ 10.77A。
这就是为什么"隔直电容"能去掉信号的直流偏置，
而"高频旁路电容"能滤掉高次谐波 —— 都是利用了阻抗随频率变化。
【阻抗的性质可能随谐波改变】
举个数值例子：XL1 = 10Ω、XC1 = 30Ω
k = 1：XL = 10，XC = 30 → 容性（XC 占优）
k = 3：XL = 30，XC = 10 → 感性（XL 占优）
k = 5：XL = 50，XC = 6 → 强感性
同一个电路，对基波是容性、对三次谐波是感性 ——
所以各次谐波的相位差 φk 都不一样，功率要一项一项算。
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第 5 站（21-26 min） 四步计算法
对应教材 13-4
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这是本章唯一的"方法"，四步一步都不能跳。
【第 1 步：分解】
把非正弦激励拆成 直流 + 各次谐波。
题目一般会给现成的级数（比如方波那个式子），或者直接给各次谐波的幅值。
【第 2 步：对每个频率分别用相量法】
· 直流分量：用第 6 章的方法（C 开路、L 短路），就是纯电阻电路
· k 次谐波：把 ω 换成 kω₁，阻抗用 Z(k) = R + j(kω₁L − 1/(kω₁C))
然后照第 8 章的相量法算（节点法、网孔法、分压都能用）
【第 3 步：回时域叠加】
把各次谐波算出来的相量，各自写成瞬时值，然后相加：
i(t) = I₀ + √2·I₁·cos(ω₁t + ψ₁) + √2·I₃·cos(3ω₁t + ψ₃) + …
★ 千万不能把不同频率的相量直接相加！
İ₁ + İ₃ 在数学上是个复数，但它【没有物理意义】——
相量的"角"是相对同一个 ω 的相位，不同 ω 之间没法比。
必须先回到时域（瞬时值），再叠加。
【第 4 步：求有效值和功率】
有效值：I = √(I₀² + I₁² + I₃² + …) ← 平方和开方
功率： P = P₀ + P₁ + P₃ + … ← 逐项相加
【为什么这么麻烦还要这么算】
因为电路是【线性】的 —— 线性意味着"输入叠加则输出叠加"。
傅里叶分解 + 分别计算 + 叠加 = 把一个问题拆成 N 个小问题，
每个小问题都能用已经学会的相量法解决。
这是线性系统分析的通用套路，
第 13 章（拉普拉斯变换）其实就是把这个思路推广到"连续所有频率"。
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第 6 站（26-30 min） 贯穿实例：把整章算一遍
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【题目】
i(t) = 5 + 10√2·cos(ωt) + 4√2·cos(3ωt) (A)，通过 R = 10Ω。
求：总有效值 I、平均功率 P。
【第 1 步：分解（题目已经拆好了）】
直流分量 I₀ = 5A
基波（k=1） I₁ = 10A（有效值）
三次谐波 I₃ = 4A（有效值）
注意 10√2 是【幅值】，除以 √2 才是有效值 10 —— 题目里已经写好了 √2。
【第 2 步：对每个频率分别算】
纯电阻电路，每个频率下都是 U = IR，不需要相位分析。
若题目给的是电压、电路里有 L、C，就要对每个 k 单独求阻抗：
Z(k) = R + j(kω₁L − 1/(kω₁C))
然后 Ik = Uk/|Z(k)|。
【第 3 步：回时域（本题没有相位问题，略）】
如果要写瞬时电流：
i(t) = 5 + 10√2·cos(ωt + ψ₁) + 4√2·cos(3ωt + ψ₃)
其中 ψk 是各次谐波电流相对该次谐波电压的相位（由 Z(k) 决定）。
【第 4 步：有效值与功率】
总有效值（平方和开方）：
I = √(I₀² + I₁² + I₃²)
= √(5² + 10² + 4²)
= √(25 + 100 + 16)
= √141
≈ 11.87A
平均功率（逐项相加）：
P = P₀ + P₁ + P₃
= 5²×10 + 10²×10 + 4²×10
= 250 + 1000 + 160
= 1410W
用总有效值校验：
P = I²R = 141 × 10 = 1410W ✓ 完全一致
【结果一览】
I₀ = 5A，I₁ = 10A，I₃ = 4A
I = √141 ≈ 11.87A（不是 19A）
P = 1410W
三次谐波贡献：160W（占 11%）—— 虽然电流只有 4A，但占比不小
【如果再加一个三次谐波谐振】
若电路对三次谐波恰好谐振（3ω₁L = 1/(3ω₁C)），
那么三次谐波的阻抗只有 R，I₃ 会变得很大 ——
这就是【谐波谐振】，是电力系统的重大隐患（谐波电流放大几十倍，
烧坏电容器）。所以工程上要测谐波、装滤波器。
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自测：12 题检验这一章
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1. 傅里叶级数把周期函数拆成哪几部分？
2. 方波的谐波有什么特点？（奇偶性、幅值衰减规律）
3. 三角波的谐波衰减比方波快还是慢？为什么？
4. 时域和频域是什么关系？
5. 非正弦电流的有效值怎么算？为什么不能直接相加？
6. 非正弦电路的平均功率怎么算？为什么可以直接相加？
7. 不同频率的电压和电流为什么不产生平均功率？
8. 直流分量下，电感和电容分别相当什么？
9. k 次谐波下，感抗和容抗分别是基波的多少倍？
10. 不同频率的相量能不能直接相加？为什么？
11. 计算非正弦周期电路的四步是什么？
12. i = 5 + 10√2cos(ωt) + 4√2cos(3ωt)，R = 10Ω，求 I 和 P。
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参考答案
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1. 直流分量 A₀ + 基波 + 各次谐波（频率是基波的整数倍）。
2. 只含奇次谐波；第 k 次幅值 ∝ 1/k（4A/kπ）。
3. 快得多。三角波 ∝ 1/k²，方波 ∝ 1/k。因为三角波没有跳变（更光滑）。
4. 同一件事的两种画法：时域看"随时间怎么变"，频域看"由哪些频率组成"。
5. I = √(I₀²+I₁²+…)。因为各频率之间正交（互不干涉），
而功率与电流平方成正比，所以按平方叠加。
6. P = P₀+P₁+…= U₀I₀ + ΣUkIk cosφk。因为不同频率的 u·i 一个周期内平均为零，
没有交叉项。
7. 因为它们的乘积在一个周期内的积分为零（正交性）。
8. 电感相当于短路（XL=0），电容相当于开路（XC→∞）。
9. 感抗是 k 倍（XL(k)=k·XL1），容抗是 1/k 倍（XC(k)=XC1/k）。
10. 不能。相量的相位是相对同一个 ω 定义的，不同 ω 之间没有可比性。
必须先回时域变成瞬时值再叠加。
11. ① 分解；② 对每个频率分别用相量法；③ 回时域叠加；
④ 求有效值（平方和开方）和功率（逐项相加）。
12. I = √(25+100+16) = √141 ≈ 11.87A；P = I²R = 1410W。
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本章最容易犯的 7 个错
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1. 有效值直接相加
5+10+4 = 19 ✗。正确是 √141 ≈ 11.87。这是本章第一大坑。
2. 把不同频率的相量直接相加
İ₁ + İ₃ 没有物理意义。必须先回时域。
3. 用 jω 去算直流分量
ω=0 时 jωL=0、1/(jωC)=∞，要按"L 短路、C 开路"处理。
4. 忘了把幅值换成有效值
题目给的 10√2 是幅值，有效值是 10。相量法用的是有效值。
5. 认为各次谐波的阻抗角相同
XL、XC 随 k 变，所以每次的 φk 都不一样，功率要各算各的。
6. 功率里漏掉 cosφk
只有当 Uk 和 Ik 同相（纯电阻）时 cosφk 才是 1。
7. 以为"分解"只是为了好看
分解是必须的 —— 因为阻抗随频率变，不分解就没法算。
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这一章和后面的关系
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· 第 13 章（复频域与二端口）：拉普拉斯变换是"连续所有频率"的推广，
本章的"对每个 k 算一次"在那里变成"对每个 s 算一次"。
· 实践课（电力电子、电能质量）：谐波分析是核心内容 ——
变频器、开关电源都会产生谐波，要测、要滤、要治理。
· 第 11 章（三相）：三相电路里的三次谐波（及其倍数）有特殊性质
（三相同相，会在中性线上叠加），这也是电力系统关注的重点。
一句话：这一章没有新知识，只是把第 8 章的相量法【用 N 遍】。
真正的新东西只有两条：有效值用平方和、功率用逐项和。
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波形与频谱图已设置避免跨页断开，正文按 10pt 排版。