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邱关源《电路》第 6 版 · 第 11 章（教材第 12 章）
三相电路 —— 30 分钟速通
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适用对象：学完第 1~10 章（尤其第 8 章相量法、第 10 章功率）
预计用时：30 分钟（三相不难，难在"线量/相量"四个字来回倒）
教材对应：第 12 章 12-1 ~ 12-5
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全章地图：这一章到底在讲什么
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前面所有电路都是"单相"的：一个电源、两根线。
工业上用的却是【三相】：三个电源、三根线（有时四根）。
为什么？因为三相有两个单相比不了的好处：
① 同样体积的电机，三相的输出功率更大、转矩更平稳
② 输电时三根线的总损耗更低
这一章只回答一个问题：
三根线上的电压电流，与每相内部的电压电流，是什么关系？
一共五件事：
① 对称三相电源：三个量之和为零 （12-1）
② 星形（Y）连接：线电压 = √3 相电压，超前 30° （12-2）
③ 三角形（Δ）连接：线电流 = √3 相电流，滞后 30°（12-2）
④ 对称三相电路的计算：只算一相 （12-3）
⑤ 三相功率：√3·U_L·I_L·cosφ （12-5）
时间表：
0 - 5 min 第 1 站 对称三相电源与相序
5 - 11 min 第 2 站 星形连接：√3 与 +30°
11 - 17 min 第 3 站 三角形连接：√3 与 −30°
17 - 22 min 第 4 站 只算一相（本章唯一的技巧）
22 - 26 min 第 5 站 三相功率与瞬时功率恒定
26 - 30 min 第 6 站 贯穿实例 + 自测
★★ 贯穿全章的实例（数值特意配成 0.6/0.8）★★
对称三相电源，相电压 U_P = 220V（线电压 U_L = 220√3 ≈ 381V）。
对称星形负载，每相 Z = 30 + j40Ω。
· |Z| = √(30²+40²) = 50Ω，φ = 53.13°，cosφ = 0.6
· 相电流 = 线电流 = 220/50 = 4.4A
· 三相有功 P = 3·220·4.4·0.6 = 1742.4W
· 用线量算：√3·381·4.4·0.6 = 1742.4W ✓ 完全相同
· 三相瞬时功率之和恒为 1742.4W（不随时间变）
最后一条是三相电的精髓：单相功率是脉动的，三相叠加后
脉动恰好抵消 —— 所以三相电机转起来是平稳的。
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第 1 站（0-5 min） 对称三相电源与相序
对应教材 12-1
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【什么是三相电源】
三个电压源，满足三条：
① 幅值相等
② 频率相同
③ 相位互差 120°
写作：
u_A = √2·U_P·cos(ωt)
u_B = √2·U_P·cos(ωt − 120°)
u_C = √2·U_P·cos(ωt − 240°) = √2·U_P·cos(ωt + 120°)
注意：B 滞后 A 120°，C 滞后 B 120°（也就是超前 A 120°）。
【相序】
A → B → C 这个顺序叫【正序】。
工程上规定：正序时三相电机的转向是"正转"。
如果任意对调两根线（比如 A 和 B），相序就变成反序，电机反转 ——
这就是为什么电工接线时"相序"必须核对。
【★ 最重要的一条：三个相量之和为零】
U̇A + U̇B + U̇C = 0
为什么？三个长度相等、互差 120° 的箭头，首尾相接正好闭合
成一个等边三角形，所以合矢量为零。
这一条是全章所有结论的根源：
· 星形连接的中性点等电位 → 中线可以省掉
· 三相电路可以"只算一相" → 计算量降到 1/3
· 三相瞬时功率之和恒定 → 转矩平稳
只要题目说"对称三相"，这三个结论就可以直接用。
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第 2 站（5-11 min） 星形连接：√3 与 +30°
对应教材 12-2
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【什么叫星形连接】
三个负载各有一端接在一起（这个公共点叫【中性点 N】），
另一端分别接 A、B、C 三根相线。
电源侧也可以星形连接，同样有个中性点 N（零点）。
【四个量的定义（这四个字必须分清）】
相电压 U_P：每相负载（或每相电源）两端之间的电压，即 A 到 N
线电压 U_L：两根相线之间的电压，即 A 到 B
相电流 I_P：流过每相负载的电流
线电流 I_L：流过每根相线的电流
★ "相"指内部，"线"指外部。所有易错题根源都在这两个字的混淆。
【星形连接的两个关系】
① 电流：I_L = I_P
因为一条相线上只串着一个负载，没有别的支路，
流进线路的电流就是流过负载的电流。
② 电压：U_L = √3·U_P，且线电压【超前】对应的相电压 30°
推导：U̇AB = U̇A − U̇B
代入 U̇A = U_P∠0°、U̇B = U_P∠−120°：
U̇AB = U_P(1 − ∠−120°) = U_P(1.5 + j0.866) = √3·U_P∠30°
→ 模是 √3 倍，角多了 30° ✓
【工程上的对应数值（记住）】
U_P = 220V → U_L = 220√3 ≈ 381V（标称 380V）
U_L = 380V → U_P = 380/√3 ≈ 220V
所以"家用 220V、工业 380V"说的是同一个三相系统：
220V 是相电压（一根线对零线），380V 是线电压（两根线之间）。
【一条常考的判断】
星形连接时：线电压比相电压【大】（√3 倍）
三角形连接时：线电压等于相电压
一句话：星形的"线"比"相"大一点（√3）。
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第 3 站（11-17 min） 三角形连接：√3 与 −30°
对应教材 12-2
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【什么叫三角形连接】
三个负载首尾相接成一个三角形，三个顶点分别接 A、B、C 三根相线。
没有中性点。
【三角形连接的两个关系】
① 电压：U_L = U_P
因为每个负载直接跨在两根相线之间，
负载两端电压就是线电压 —— 没有中间环节。
② 电流：I_L = √3·I_P，且线电流【滞后】相电流 30°
推导：İA = İAB − İCA
代入相电流互差 120°：İA 的模是 √3 倍，角比 İAB 小 30°
【★ 星形与三角形对照（考试最爱考这张表）】
连接方式 线电压 vs 相电压 线电流 vs 相电流
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星形 Y U_L = √3 U_P（超前 30°） I_L = I_P
三角形 Δ U_L = U_P I_L = √3 I_P（滞后 30°）
记忆法：
星形 —— "线"电压大 √3（因为两相串联分压）
三角 —— "线"电流大 √3（因为两相电流叠加）
再记一条：两个 √3 都伴随 ±30°，Y 是 +30°，Δ 是 −30°。
【什么时候用哪种接法】
星形：
· 需要中性点（比如单相负载要从三相取电）
· 高压电机（每相承受的电压低一些，绝缘要求低）
三角形：
· 不需要中性点
· 大电流、低电压场合
同一个负载，改成三角形接法后每相电压变成 √3 倍，
功率变成 3 倍 —— 这就是"星-三角启动"能降低启动电流的原因
（启动时先接星形，运行后切换成三角形）。
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第 4 站（17-22 min） 只算一相：本章唯一的技巧
对应教材 12-3
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【为什么能只算一相】
对称三相电路有一个极强的性质：
三个相电压之和为零 → 中性点 N 与电源零点等电位
→ 中线电流为零（中线可以省掉）
→ 三相之间【互不影响】
既然互不影响，算 A 相就够了：
B 相的结果只是把 A 相的相位减 120°
C 相的结果只是把 A 相的相位加 120°
模长完全一样
【标准解题四步】
第 1 步 把负载化成星形（如果是三角形，先做 Δ→Y 变换）
第 2 步 取 A 相，画单相等效电路（一个相电压 + 一个阻抗）
第 3 步 算 A 相的电流（或电压）
第 4 步 按相序写出 B、C 相的结果
★ Δ→Y 变换的公式（第 2 章的 Y-Δ 变换的逆）：
Z_Y = Z_Δ / 3
所以三角形负载 30+j40Ω 化成星形是 10+j13.33Ω。
【为什么"先化星形"】
因为星形有中性点，单相等效电路才成立。
三角形没有中性点，必须先变换。
【一条重要提醒】
对称三相电路的中性线电流为零，所以中线接不接都一样（可以省掉）。
但如果负载【不对称】，中线电流就不为零 —— 这时中线绝不能断开，
否则中性点会漂移，三相电压全乱（这是 12-4 节不对称三相的内容）。
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第 5 站（22-26 min） 三相功率与瞬时功率恒定
对应教材 12-5
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【三相功率】
三相总功率就是三个单相功率之和。用两种算法都行：
用相量：P = 3·U_P·I_P·cosφ
用线量：P = √3·U_L·I_L·cosφ
两种完全等价（因为 U_L = √3U_P 时，3U_P I_P = √3·U_L·I_L）。
同理：
Q = 3·U_P·I_P·sinφ = √3·U_L·I_L·sinφ
S = 3·U_P·I_P = √3·U_L·I_L
注意：cosφ 里的 φ 仍然是【每相】的阻抗角，不是线电压与线电流的夹角。
【★ 瞬时功率恒定：三相电最大的优点】
单相电路的瞬时功率：
p = ui = U_P I_P·cosφ + U_P I_P·cos(2ωt − φ)
后半项以 2ω 脉动，功率时大时小。
三相的三个脉动分量相位互差 120°×2 = 240°，
它们加起来恰好为零，于是：
p_total = p_A + p_B + p_C = 3·U_P·I_P·cosφ = P（恒定）
贯穿实例：无论 ωt 取何值，p_total 恒为 1742.4W。
【为什么这很重要】
· 单相电机：功率脉动 → 转矩脉动 → 振动、噪声
· 三相电机：功率恒定 → 转矩平稳 → 安静、寿命长
这就是工厂里的大功率电机几乎全是三相的原因。
【补充：三相功率的测量】
三瓦特计法：三个功率表分别测三相，读数相加。
两瓦特计法：三线制（无中线）时只用两个表，两读数之和就是总功率
（这个方法对【不对称】负载也成立，是电气测量的常考点）。
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第 6 站（26-30 min） 贯穿实例：把整章算一遍
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【题目】
对称三相电源 U_P = 220V，对称星形负载 Z = 30 + j40Ω。
求：线电压、相电流、三相功率、瞬时功率。
【第 1 步：线电压】
U_L = √3·U_P = √3 × 220 ≈ 381.05V（标称 380V）
【第 2 步：负载阻抗】
|Z| = √(30² + 40²) = √2500 = 50Ω
φ = arctan(40/30) = 53.13°
cosφ = 30/50 = 0.6，sinφ = 40/50 = 0.8
【第 3 步：电流（星形：线电流 = 相电流）】
I_P = U_P/|Z| = 220/50 = 4.4A
I_L = I_P = 4.4A
相量形式（以 A 相为基准）：
U̇A = 220∠0°V，İA = 4.4∠−53.13°A（滞后 53.13°）
İB = 4.4∠(−53.13° − 120°) = 4.4∠−173.13°A
İC = 4.4∠(−53.13° + 120°) = 4.4∠66.87°A
校验：三者之和 = 0 ✓（对称三相电流和为零）
【第 4 步：三相功率】
用相量算：
P = 3·U_P·I_P·cosφ = 3 × 220 × 4.4 × 0.6 = 1742.4W
Q = 3·U_P·I_P·sinφ = 3 × 220 × 4.4 × 0.8 = 2323.2var
S = 3·U_P·I_P = 3 × 220 × 4.4 = 2904VA
用线量算（校验）：
P = √3·U_L·I_L·cosφ = √3 × 381.05 × 4.4 × 0.6 = 1742.4W ✓
校验视在功率：
√(P² + Q²) = √(1742.4² + 2323.2²) = 2904VA ✓
【第 5 步：瞬时功率】
p_total = 1742.4W，与 ωt 无关（恒为常数）。
可以用任意时刻验证：ωt = 0° 时
p_A + p_B + p_C = 1742.4W ✓
【第 6 步：如果负载改成三角形接法】
Δ 连接：线电压 = 相电压 = 381.05V
每相电流 = 381.05/50 = 7.62A
线电流 = √3 × 7.62 = 13.2A
三相功率 = 3 × 381.05 × 7.62 × 0.6 = 5227.2W
对比星形的 1742.4W：正好 3 倍 ✓
（因为每相电压变成 √3 倍，功率 ∝ U²，所以 3 倍）
这就是"星-三角启动"能降低启动电流的原理。
【结果一览】
U_L = 381V，I_P = I_L = 4.4A
P = 1742.4W，Q = 2323.2var，S = 2904VA，cosφ = 0.6
p_total ≡ 1742.4W（恒定）
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自测：12 题检验这一章
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1. 对称三相电源的三个条件是什么？
2. 为什么三个相电压的相量之和为零？
3. 星形连接时，线电压和相电压的关系？线电流和相电流的关系？
4. 三角形连接时，这两个关系分别是什么？
5. 220V 和 380V 分别指什么电压？它们是什么关系？
6. 线电压超前还是滞后相电压？多少度？（星形）
7. 为什么对称三相电路可以"只算一相"？
8. 三角形负载要化成星形，Z 怎么变？
9. 三相有功功率的两种算法？
10. 三相瞬时功率为什么是常数？有什么实际好处？
11. 如果负载不对称，中线能不能断开？为什么？
12. U_P = 220V、Z = 30+j40Ω、星形，求 I、P、Q、S。
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参考答案
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1. 幅值相等、频率相同、相位互差 120°。
2. 三个长度相等、互差 120° 的相量首尾相接正好闭合（构成等边三角形），
合矢量为零。
3. U_L = √3·U_P（且超前 30°）；I_L = I_P。
4. U_L = U_P；I_L = √3·I_P（且滞后 30°）。
5. 220V 是相电压（线对中性点），380V 是线电压（线对线）；
380 = 220√3（约）。
6. 超前 30°。
7. 因为三相对称 → 中性点等电位、中线电流为零 → 三相互不影响，
所以算一相，其余按相序增减 120° 即可。
8. Z_Y = Z_Δ/3（三角化成星，阻抗除以 3）。
9. P = 3·U_P·I_P·cosφ = √3·U_L·I_L·cosφ。
10. 三个相功率都以 2ω 脉动、互差 240°，叠加后脉动分量之和为零，
只剩恒定项。好处是三相电机转矩平稳、无振动。
11. 不能。不对称时中线电流不为零，断开后中性点会漂移，
三相电压变得有高有低，可能烧坏设备。
12. |Z| = 50Ω，cosφ = 0.6；I = 220/50 = 4.4A；
P = 3×220×4.4×0.6 = 1742.4W；Q = 2323.2var；S = 2904VA。
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本章最容易犯的 6 个错
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1. 线量、相量混用
"线"是外部两根线之间，"相"是内部每相。
星形是 线电压 = √3 相电压；三角形是 线电流 = √3 相电流。
两个 √3 不在同一个量上，千万别记串。
2. ±30° 记反
星形：线电压【超前】相电压 30°
三角：线电流【滞后】相电流 30°
3. 三角形负载直接算单相
三角形没有中性点，必须先 Δ→Y（Z_Y = Z_Δ/3）才能用单相法。
4. 功率公式里用了错误的 φ
cosφ 里的 φ 是【每相】的阻抗角，不是线电压与线电流的夹角。
5. 用 √3·U_L·I_L 时忘了乘 cosφ
√3·U_L·I_L 是视在功率 S（单位 VA），不是有功 P（单位 W）。
6. 认为中线可以随便断
只有在【对称】时中线电流才为零。不对称负载断中线会出事故。
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这一章和后面的关系
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· 第 12 章（非正弦周期）：三相电源的波形若畸变，要用傅里叶分解，
每一相都对每个谐波单独算，再叠加。
· 第 13 章（复频域与二端口）：三相变压器可以用二端口网络建模。
· 实践课（电机学、电力系统）：整门课都建立在这一章上 ——
线量/相量、星/三角、三相功率是电力行业的基本语言。
· 工程规范：我国低压配电是 380V/220V、50Hz 三相四线制，
这一章的每个公式都在实际用。
一句话：这一章计算量最小（只算一相），
但要背的关系最多（√3、±30°、四个量的定义）。
把第 3 站那张对照表背熟，这章就过关了。
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波形与相量图已设置避免跨页断开，正文按 10pt 排版。