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邱关源《电路》第 6 版 · 第 10 章（教材第 11 章）
电路的频率响应与谐振 —— 30 分钟速通
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适用对象：学完第 1~9 章（尤其第 8 章的相量法）
预计用时：30 分钟（谐振条件好记，Q 的三个公式容易混）
教材对应：第 11 章 11-1 ~ 11-4
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全章地图：这一章到底在讲什么
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前面所有章节都把频率当成"常数"——电源 50Hz 就是 50Hz。
这一章把频率当成【变量】，看电路在不同频率下表现怎么变。
一旦频率变成变量，就会出现一个特别有趣的状态：
感抗和容抗恰好相等、互相抵消 —— 这叫【谐振】
谐振时的现象很反直觉：
· 阻抗最小，电流最大
· 电感上的电压可能是电源电压的几十倍（！）
这一章只回答三个问题：
① 一个电路对不同频率的响应怎么描述？ → 网络函数
② 什么时候谐振？谐振时有什么现象？ → ωL = 1/(ωC)
③ 谐振峰有多尖？怎么衡量？ → 品质因数 Q 与带宽
一共五件事：
① 网络函数与频率响应 （11-1）
② 串联谐振的条件与四个结论 （11-2）
③ 品质因数 Q 与「谐振升压」 （11-2）
④ 谐振曲线、通频带与选择性 （11-3）
⑤ 并联谐振与四种滤波器 （11-3、11-4）
时间表：
0 - 5 min 第 1 站 网络函数：把频率当变量
5 - 11 min 第 2 站 串联谐振：ωL = 1/(ωC)
11 - 17 min 第 3 站 品质因数 Q（三个公式与谐振升压）
17 - 22 min 第 4 站 谐振曲线、带宽、选择性
22 - 26 min 第 5 站 并联谐振与滤波器
26 - 30 min 第 6 站 贯穿实例 + 自测
★★ 贯穿全章的实例（数值特意配成 Q = 10）★★
L = 1H、C = 1μF、R = 100Ω，接 U = 10V 的正弦电源。
· 谐振频率：ω0 = 1/√(LC) = 1000 rad/s（f0 = 159.2Hz）
· 谐振时阻抗最小：Z = R = 100Ω
· 谐振时电流最大：I0 = U/R = 0.1A
· 品质因数：Q = ω0L/R = 1000×1/100 = 10
· 谐振时 UL = UC = Q·U = 100V（是电源的 10 倍！）
· 通频带：BW = ω0/Q = 100 rad/s
最后那一条是本章最反直觉、也是考试最爱考的地方：
电源只有 10V，线圈和电容上却有 100V —— 这叫【谐振升压】。
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第 1 站（0-5 min） 网络函数：把频率当变量
对应教材 11-1
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【网络函数 H(jω)】
在正弦稳态下，把所有激励看成一个整体，某个响应与激励的比值：
H(jω) = 响应相量 / 激励相量
它是个复数，所以有两部分信息：
|H(jω)| 幅频特性 —— 各频率的"放大倍数"
φ(ω) 相频特性 —— 各频率的"相位移动"
把 |H| 对 ω 画出来，就是本章所有的曲线。
【为什么要专门研究这个】
因为实际信号很少是单一频率的：
· 语音、音乐是无数频率的叠加
· 方波含有基波和各次谐波
电路对不同频率"态度不同"，这件事决定了两大类应用：
· 想保留某些频率 → 滤波器
· 想选出某个频率 → 谐振（选频）
【本章的核心结构】
所有内容都围绕一个量：RLC 串联电路的阻抗
Z = R + j(ωL − 1/(ωC))
其中：
ωL 叫感抗 XL（随 ω 增大）
1/(ωC) 叫容抗 XC（随 ω 减小）
这两项一个随频率变大、一个随频率变小 ——
在某个频率上它们必然相等，那一刻就是【谐振】。
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第 2 站（5-11 min） 串联谐振：ωL = 1/(ωC)
对应教材 11-2
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【谐振条件】
ωL = 1/(ωC) ⇒ ω0 = 1/√(LC)
谐振频率：f0 = ω0/(2π)
贯穿实例：L = 1H、C = 1μF
ω0 = 1/√(1×10⁻⁶) = 1000 rad/s
f0 = 1000/(2π) ≈ 159.2 Hz
【谐振时的四个结论（背下来）】
① 阻抗最小：Z = R（虚部为零，只剩电阻）
② 电流最大：I0 = U/R
③ 电压与电流同相：φ = 0，cosφ = 1
④ 感抗与容抗相等：XL = XC，两者电压大小相等、方向相反
第 ④ 条是重点：UL 和 UC 【不是零】，而是大小相等、相位相反。
它们互相抵消，所以电源"看到"的只有 R 上的 10V。
【谐振时的相量图】
以电流 İ 为基准（水平向右）：
U̇R 与 İ 同相 → 水平向右
U̇L 超前 90° → 竖直向上
U̇C 滞后 90° → 竖直向下
U̇L 与 U̇C 长度相等 → 恰好抵消
合成电压 U̇ = U̇R，与 İ 同相 ✓
【一句话总结】
谐振 = 电感与电容"互相抵消"，电路退化成纯电阻。
但它们在抵消之前，各自承受了很大的电压。
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第 3 站（11-17 min） 品质因数 Q 与谐振升压
对应教材 11-2 后半
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【Q 的三个等价公式（串联电路）】
Q = ω0L / R = 1/(ω0CR) = (1/R)·√(L/C)
三个式子数值完全相等，考试用哪个方便就用哪个：
· 已知 L、R → 用 ω0L/R
· 已知 C、R → 用 1/(ω0CR)
· 只给 L、C、R → 用 (1/R)√(L/C)
贯穿实例：Q = 1000×1/100 = 10
校验：1/(1000×1e-6×100) = 1/0.1 = 10 ✓
(1/100)√(1/1e-6) = (1/100)×1000 = 10 ✓
【★ 谐振升压：本章最重要的现象】
谐振时电流 I0 = U/R，于是
UL = I0·ω0L = (U/R)·ω0L = U·(ω0L/R) = Q·U
同理 UC = Q·U。也就是说：
谐振时，电感和电容上的电压是电源电压的 Q 倍！
贯穿实例：Q = 10、U = 10V → UL = UC = 100V
工程含义：
· 电力系统中要避免谐振 —— 100V 的电源可能在设备上产生
上千伏电压，直接击穿绝缘
· 无线电里又需要谐振 —— 收音机的天线回路靠它把微弱信号
放大到可处理的幅度
【Q 的物理意义】
Q 越大：
· 谐振峰越尖（选择性越好）
· 通频带越窄
· 谐振升压倍数越高
一个数同时描述这三件事，这就是 Q 的妙处。
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第 4 站（17-22 min） 谐振曲线、通频带与选择性
对应教材 11-3
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【归一化谐振曲线】
I/I0 = 1 / √( 1 + Q²(ω/ω0 − ω0/ω)² )
· ω = ω0 时，括号内为 0，I/I0 = 1（最大值）
· ω 偏离 ω0 时，分母变大，电流下降
· Q 越大，同样的偏离造成的下降越剧烈 → 曲线越尖
【通频带 BW】
定义：电流降到最大值的 1/√2 ≈ 0.707 倍时，
两个频率之间的宽度。
BW = ω0 / Q
为什么是 0.707？因为功率 P = I²R，电流降到 1/√2 时功率恰好减半，
所以这两个点叫【半功率点】。
贯穿实例：BW = 1000/10 = 100 rad/s
精确半功率点：ω1 = 951.25、ω2 = 1051.25 rad/s
（近似就是 ω0 ± BW/2 = 950 与 1050，Q 大时很接近）
校验：半功率点处 |Z| = √2·R = 141.4Ω
实际 |Z(951.25)| = 141.421 ✓
【选择性：Q 的两难】
Q 高 → 峰尖、带窄 → 能"选台"，但稍有漂移就失谐
Q 低 → 峰平、带宽 → 不易失谐，但选不出台
收音机选台就是调电容改变 ω0，让带通的中心对准电台频率。
中波收音机的 Q 一般在几十到一百多。
【不同 Q 对应的电阻（同一个 ω0）】
Q = 1 → R = ω0L/Q = 1000Ω，BW = 1000 rad/s（很宽）
Q = 10 → R = 100Ω， BW = 100 rad/s
Q = 100 → R = 10Ω， BW = 10 rad/s（很尖）
注意：L、C 不变，只改 R 就能改 Q。R 越小 Q 越高。
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第 5 站（22-26 min） 并联谐振与滤波器
对应教材 11-3、11-4
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【并联谐振：把串联的结论"倒过来"】
把 R、L、C 并联，用导纳分析：
Y = 1/R + j(ωC − 1/(ωL))
谐振条件完全相同：ωC = 1/(ωL) ⇒ ω0 = 1/√(LC)
但现象正好相反：
串联谐振：Z 最小 → 电流最大 → 相当于【短路】
并联谐振：Y 最小 → 电压最大 → 相当于【开路】
★ 记忆：串联看阻抗最小，并联看导纳最小。
【并联的品质因数】
Q_并 = R/(ω0L) = ω0CR = R√(C/L)
和串联的 Q 串 = ω0L/R 正好【互为倒数】的形式：
串联是"分子带 L、分母带 R"，并联是"分子带 R、分母带 L"。
所以同样是 R = 100Ω、L = 1H、ω0 = 1000：
串联：Q = 1000/100 = 10
并联：Q = 100/1000 = 0.1
并联时 R 越大 Q 越高 —— 因为并联电路里 R 是"耗能支路"，
R 越大耗能越少，Q 越高。
【滤波器：谐振的工程应用】
滤波器就是"让某些频率通过、把另一些挡掉"的网络。
用网络函数描述，就是看 |H(jω)| 的形状：
低通 LPF：低频通、高频挡（一个 R 加一个 C）
高通 HPF：高频通、低频挡（电容和电阻换个位置）
带通 BPF：只有 ω0 附近通（RLC 串联，输出取 R 上的电压）
带阻 BSF：只有 ω0 附近挡（RLC 串联，输出取 LC 上的电压）
带通/带阻的中心频率就是谐振频率 ω0，带宽就是 BW = ω0/Q。
【为什么收音机能选台】
天线收到的是所有电台信号的叠加（不同频率）。
调谐回路是一个带通滤波器：
转动电容 → C 变化 → ω0 = 1/√(LC) 变化
→ 带通中心移到某个电台的频率
→ 只有那个电台的信号能通过
这就是"选频"的全部原理。
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第 6 站（26-30 min） 贯穿实例：把整章算一遍
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【题目】
R = 100Ω、L = 1H、C = 1μF 串联，接 U = 10V 的正弦电源。
求谐振频率、谐振时的电流与各电压、品质因数、通频带。
【第 1 步：谐振频率】
ω0 = 1/√(LC) = 1/√(1×10⁻⁶) = 1000 rad/s
f0 = ω0/(2π) = 1000/6.283 ≈ 159.2 Hz
【第 2 步：谐振时的阻抗与电流】
Z(jω0) = R + j(ω0L − 1/(ω0C)) = 100 + j(1000 − 1000) = 100Ω
I0 = U/R = 10/100 = 0.1A（最大）
【第 3 步：谐振时各元件电压】
UR = I0·R = 0.1 × 100 = 10V ← 等于电源电压 ✓
UL = I0·ω0L = 0.1 × 1000 = 100V ← 是电源的 10 倍！
UC = I0/(ω0C) = 0.1/10⁻³ = 100V ← 也是 10 倍
相量校验：
U̇R = 10∠0°，U̇L = 100∠90°，U̇C = 100∠−90°
U̇R + U̇L + U̇C = 10 + j100 − j100 = 10∠0° ✓ 等于电源
★ 这就是"谐振升压"：电感电压 100V、电容电压 100V，
但两者相位相反，加起来为零。电源只"看到" 10V。
【第 4 步：品质因数（三种算法互相校验）】
Q = ω0L/R = 1000×1/100 = 10
Q = 1/(ω0CR) = 1/(1000×10⁻⁶×100) = 1/0.1 = 10 ✓
Q = (1/R)√(L/C) = (1/100)×√(10⁶) = 1000/100 = 10 ✓
三种算法都得 10，说明理解没错。
【第 5 步：通频带】
BW = ω0/Q = 1000/10 = 100 rad/s
精确半功率点：ω1 = 951.25、ω2 = 1051.25 rad/s
校验 |Z| = √(100² + 100²) = 141.4Ω = √2·R ✓
【第 6 步：如果改成 Q = 100（把 R 改成 10Ω）】
R = ω0L/Q = 1000/100 = 10Ω
BW = ω0/Q = 10 rad/s（窄了 10 倍）
此时 UL = UC = Q·U = 100×10 = 1000V（！）
这说明：Q 越高，选择性越好，但升压倍数也越吓人。
实际电路设计必须在"选择性"和"耐压"之间折中。
【结果一览】
ω0 = 1000 rad/s（f0 ≈ 159.2Hz）
Z = 100Ω，I0 = 0.1A
UR = 10V，UL = UC = 100V
Q = 10
BW = 100 rad/s（951.25 ~ 1051.25）
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自测：12 题检验这一章
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1. 网络函数的定义？幅频特性和相频特性分别是什么？
2. 串联谐振的条件是什么？谐振频率公式？
3. 谐振时阻抗、电流、相位各有什么特点？
4. 谐振时 UL 和 UC 是不是零？为什么总电压还等于 UR？
5. 串联电路的品质因数有哪三个等价公式？
6. 谐振升压的公式是什么？为什么会发生？
7. 通频带 BW 的定义和公式？为什么半功率点是 0.707？
8. Q 变大时，谐振峰、带宽、升压倍数分别怎么变？
9. 并联谐振和串联谐振的现象有什么不同？
10. 并联谐振的品质因数公式？
11. 低通、高通、带通滤波器各用什么元件实现？
12. R=100Ω、L=1H、C=1μF，求 ω0、Q、BW、谐振时的 UL。
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参考答案
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1. H(jω) = 响应相量/激励相量；|H| 是幅频特性，辐角 φ 是相频特性。
2. ωL = 1/(ωC)；ω0 = 1/√(LC)，f0 = ω0/(2π)。
3. Z = R 最小；I = U/R 最大；电压与电流同相（φ = 0）。
4. 不是零。UL = UC = Q·U，两者大小相等、相位相反（差 180°），
相量相加后为零，所以只剩 UR。
5. Q = ω0L/R = 1/(ω0CR) = (1/R)√(L/C)。
6. UL = UC = Q·U。因为谐振时 I0 = U/R，而 XL = ω0L，
所以 UL = I0·XL = (U/R)·ω0L = Q·U。
7. BW = ω0/Q；定义是电流降到 0.707I0 的两个频率之差。
因为 P = I²R，I 降到 1/√2 时功率恰好减半。
8. 峰变尖、带宽变窄、升压倍数变大（三者同向变化）。
9. 串联：阻抗最小、电流最大，相当于短路；
并联：导纳最小、端电压最大，相当于开路。
10. Q_并 = R/(ω0L) = ω0CR = R√(C/L)。
11. 低通用 R 和 C（输出取 C 上的电压）；高通也是 R 和 C（输出取 R 上）；
带通用 RLC 谐振（输出取 R 上）。
12. ω0 = 1/√(1×10⁻⁶) = 1000 rad/s；Q = ω0L/R = 10；
BW = ω0/Q = 100 rad/s；UL = Q·U = 10×10 = 100V（设 U = 10V）。
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本章最容易犯的 6 个错
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1. 认为谐振时 UL = UC = 0
它们不是零，是 Q·U，只是相位相反互相抵消。这是本章第一大坑。
2. 三个 Q 公式混用
串并用 ω0L/R，并并用 R/(ω0L)。记法：谁是"耗能支路"，
谁就带着 R 出现在分子的位置。
3. 通频带和半功率点搞混
BW 是两个半功率点的【差】，不是某一个点。
4. 认为 Q 越高越好
Q 高选择性好，但升压倍数高（可能击穿）、带宽窄（容易失谐）。
5. 并联谐振也写成"阻抗最小"
并联是【导纳】最小，对应阻抗最大、端电压最大。
6. 用 f0 和 ω0 搞混
公式里全都是 ω（rad/s），算完 f = ω/(2π) 才是 Hz。差 2π 倍。
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这一章和后面的关系
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· 第 11 章（三相电路）：三相系统也有谐振问题，但主要考对称性。
· 第 12 章（非正弦周期）：不同频率的谐波对谐振回路响应不同 ——
这正是滤波器能"分离频率成分"的原因。
· 第 13 章（复频域）：把 jω 换成 s，谐振点就是 H(s) 的极点位置，
零极点图能让"Q 高 = 极点靠近虚轴"一眼看出来。
· 实践课（模电、射频）：选频放大器、振荡器、天线调谐，
全是本章内容的直接应用。
一句话：这一章是"交流电路"从"会算"到"会设计"的转折点 ——
Q 这个数，把选择性、带宽、升压三件事串在一起。
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曲线与相量图已设置避免跨页断开，正文按 10pt 排版。