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邱关源《电路》第 6 版 · 第 9 章（教材第 10 章）
含耦合电感的电路与变压器 —— 30 分钟速通
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适用对象：学完第 1~8 章（尤其第 8 章的相量法）
预计用时：30 分钟（同名端的符号是本章唯一的新东西）
教材对应：第 10 章 10-1 ~ 10-5
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全章地图：这一章到底在讲什么
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前面所有元件都是"各自独立"的：电阻就是电阻，电感就是电感，
互不影响。
这一章的第一个新东西是【互感】：两个线圈靠得近，一个的电流变化
会在另一个里感应出电压。从此两个线圈"拴在一起"，不能分开算。
第二个新东西是【理想变压器】：它只变换电压、电流和阻抗，
自己不耗能、不储能 —— 是工程上最常用的"变换器"。
这一章只回答三个问题：
① 两个线圈耦合了，方程怎么列？ → 同名端定符号
② 耦合太麻烦，能不能化简？ → 去耦等效（T 形）
③ 变压器怎么用？ → 三个变换关系 + 阻抗变换
一共五件事：
① 互感与同名端：M 的正负怎么定 （10-1）
② 串联：顺串与反串 （10-2）
③ 去耦等效：化成不含互感的 T 形网络 （10-2）
④ 变压器原理与理想变压器 （10-4、10-5）
⑤ 阻抗变换：变比 n 的平方关系 （10-5）
时间表：
0 - 5 min 第 1 站 互感与同名端
5 - 11 min 第 2 站 顺串与反串（最容易记反的地方）
11 - 17 min 第 3 站 去耦等效
17 - 22 min 第 4 站 变压器与理想变压器
22 - 26 min 第 5 站 阻抗变换与耦合电感的功率
26 - 30 min 第 6 站 贯穿实例：把 8Ω 喇叭变成 800Ω
★★ 贯穿全章的实例（一个真实的工程场景）★★
L₁ = 4H、L₂ = 1H、k = 0.5 的一对耦合线圈；
再加一个 N₁ = 1000、N₂ = 100 的变压器。
· 互感系数：M = k√(L₁L₂) = 0.5×2 = 1H
· 顺串：L = 4+1+2 = 7H；反串：L = 4+1−2 = 3H
· 去耦（同名端相连）：L₁−M = 3H、L₂−M = 0H、M = 1H
· 变压器：n = 10，8Ω 喇叭 → 原边看到 800Ω
最后这一条是真实用途：输出变压器把 8Ω 喇叭变换成电子管放大器
需要的 800Ω —— 功率才能送得出去。
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第 1 站（0-5 min） 互感与同名端
对应教材 10-1
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【互感是什么】
两个线圈放在一起，线圈 1 的电流 i₁ 产生的磁通有一部分穿过线圈 2。
当 i₁ 变化时，穿过线圈 2 的磁通也变，于是在线圈 2 中感应出电压。
这就是【互感】，用 M 表示（单位 H），和自感是同一个单位。
【伏安关系：多了一项】
u₁ = L₁·di₁/dt + M·di₂/dt
u₂ = M·di₁/dt + L₂·di₂/dt
相量形式（和第 8 章一样，把 d/dt 换成 jω）：
U̇₁ = jωL₁·İ₁ + jωM·İ₂
U̇₂ = jωM·İ₁ + jωL₂·İ₂
每一项都是"jω 乘以某个电感再乘以某个电流"，形状完全统一 ——
所以相量法在这一章照样能用。
【M 的正负：全靠同名端】
M 那一项前面的符号可正可负，判断依据是【同名端】：
· 两个电流都从同名端流入（或都流出）→ 互感电压取【+】
· 一个流入、一个流出 → 互感电压取【−】
同名端在电路图上用一个实心圆点标出，表示"这两个端子绕向相同"。
点画在哪一端由线圈的绕法决定，做题时题目会给。
【M 的最大值：耦合系数 k】
M = k·√(L₁L₂) 0 ≤ k ≤ 1
k 叫耦合系数：
k = 1 全耦合（磁通一点不漏，理想变压器就是这种）
k = 0 完全没有耦合（离得很远）
实际变压器 k 在 0.9 ~ 0.99；空心线圈只有 0.1 左右
这条式子还有个用处：知道 M 和两个自感，就能算出 k。
【一条重要的提醒】
互感不是"多了一个元件"，它只改变【伏安关系】。
所以电路定理（KCL、KVL、节点法、网孔法、戴维南）全都不变，
只是列方程时每个线圈的电压要多算一项 jωM·İ。
这也是第 8 章那句话的延续：相量法一开，前面所有工具照搬。
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第 2 站（5-11 min） 顺串与反串：最容易记反的地方
对应教材 10-2
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两个线圈串联，只有两种接法，等效电感差 4M。
【顺串：磁通相加】
L = L₁ + L₂ + 2M
接法特点：【异名端相连】——把线圈 1 的"无点端"接到线圈 2 的"有点端"。
这样电流从线圈 1 的同名端流入、从线圈 2 的同名端流入，
两个磁通方向相同，互相加强。
【反串：磁通相减】
L = L₁ + L₂ − 2M
接法特点：【同名端相连】——把两个"有点端"接在一起。
这样电流从线圈 1 的同名端流入、却从线圈 2 的"无点端"流入，
两个磁通方向相反，互相抵消。
【★ 记忆口诀（很多人背反，请务必记这条）】
异名端相连 → 顺串 → +2M → 磁通相加 → 等效电感【变大】
同名端相连 → 反串 → −2M → 磁通相减 → 等效电感【变小】
怎么检查自己记没记反？用一个极端例子验证：
若 k = 1 且 L₁ = L₂ = M，则某一种接法应得到 L = 0
（磁通完全抵消，相当于两根线绕在一起互相抵消）
代入：L₁+L₂−2M = 2L − 2L = 0 ✓ 这就是【同名端相连】
所以"同名端相连 → 相减"是对的 ✓
【用贯穿实例算一遍】
L₁ = 4H、L₂ = 1H、M = 1H：
顺串（异名端相连）：L = 4 + 1 + 2 = 7H
反串（同名端相连）：L = 4 + 1 − 2 = 3H
差值 4M = 4H。工程上正是用这个性质测 M：
两种接法各测一次电感，L_顺 − L_反 = 4M，就能反解出 M。
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第 3 站（11-17 min） 去耦等效：把 M 消掉
对应教材 10-2
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【为什么要去耦】
含互感的电路列方程很别扭：两个线圈的电压互相牵扯。
如果两线圈有一端连在一起，就能把它换成【不含互感的 T 形网络】，
之后按普通电路算，M 彻底消失。
【两种情况的等效（记这两行）】
① 同名端相连 → T 形：L₁ − M、L₂ − M、M
② 异名端相连 → T 形：L₁ + M、L₂ + M、−M
注意第二种会出现【负电感】，数学上完全允许，不用怕。
【为什么这两个等效是对的：用串联结果反推】
拿贯穿实例（L₁=4、L₂=1、M=1）验证第 ① 种：
T 形三个臂：L₁−M = 3H、L₂−M = 0H、M = 1H
如果中间端空置、只用两端串联：
L = (L₁−M) + (L₂−M) = 3 + 0 = 3H
而第 2 站说"同名端相连 = 反串 = 3H" ✓ 一致
再验证第 ② 种（异名端相连）：
T 形：L₁+M = 5H、L₂+M = 2H、−M = −1H
串联（中间端空置）：L = 5 + 2 = 7H
与"异名端相连 = 顺串 = 7H" ✓ 一致
两种去耦公式都能还原第 2 站的串联结论 ——
这说明公式记对了，也说明第 2 站那个"最容易记反"的口诀是自洽的。
【去耦的适用条件（很重要）】
· 必须【有一端相连】。完全隔离的两线圈之间无法去耦，
只能在方程里保留 jωM·İ 那一项。
· 去耦只对【外部等效】，内部的电流分布会变 ——
和第 2 章"对外等效"、第 4 章戴维南"只对外等效"是同一个道理。
【含耦合电感的电路怎么算（通用步骤）】
① 标出同名端，据此刻 M 的正负
② 能去耦就先化成 T 形（有一端相连时）
③ 去耦后按第 8 章的方法：写阻抗、列 KCL/KVL、解复数方程
④ 回时域（如果需要）
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第 4 站（17-22 min） 变压器与理想变压器
对应教材 10-4、10-5
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【实际变压器】
两个绕组套在同一个铁芯上，靠磁通耦合 —— 本质上就是 k 接近 1 的互感。
所以实际变压器可以用"互感 + 自感 + 负载"的电路来建模。
【理想变压器：三条理想化】
① 无损耗（绕组电阻为零、铁芯无涡流损耗）
② 全耦合（k = 1，没有漏磁）
③ 自感、互感都趋于无穷（但比值有限）
于是伏安关系变得极简单：
u₁/u₂ = N₁/N₂ = n
注意：理想变压器【不是】互感元件 ——
它的电压比和频率无关、和负载无关，只是匝数比。
【三个变换关系（全章最该背的三条）】
电压：U₁/U₂ = n = N₁/N₂ （电压跟着匝数【正比】）
电流：I₁/I₂ = 1/n （电流【反比】）
阻抗：Zin = n²·ZL （阻抗是【平方】）
Zin 是"从原边看进去"的等效阻抗。
记忆：只有阻抗带平方，电压电流都是一次方。
为什么阻抗是平方？因为 Z = U/I，电压乘了 n，电流又除了 n，
两次叠加就变成 n²。
【功率关系】
P₁ = U₁I₁ = U₂I₂ = P₂
理想变压器不耗能、不储能，只是"搬运"功率。
所以它既不是耗能元件，也不是储能元件 —— 这是它和 R、L、C 的本质区别。
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第 5 站（22-26 min） 阻抗变换与耦合电感的功率
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【阻抗变换的用处：阻抗匹配】
很多信号源（放大器、传感器、天线）都有一个"最佳负载"，
负载不匹配，功率就送不出去、甚至反射回来。
变压器的 Zin = n²·ZL 就是用来"造出"想要的负载：
想要 800Ω，手上只有 8Ω 喇叭 → 选 n = √(800/8) = 10
这就是老式电子管收音机输出变压器的作用。
【耦合电感的功率（了解即可）】
· 两个耦合线圈之间通过磁场传递能量，但【不消耗】能量
· 互感本身既不产生也不消耗功率，只是把能量在两个线圈间倒来倒去
· 所以含耦合电感的电路，有功功率仍然只由电阻消耗
考试里如果问"互感元件吸收的功率"，答案通常是 0（纯无功），
或者说它只在两个线圈之间交换。
【变压器的实际限制（了解）】
· 只能变换【交流】。直流时磁通不变，副边没有感应电压 ——
变压器不能用于直流（这是变压器与开关电源的分界）
· 实际变压器有损耗（铜损、铁损）、有漏磁（k < 1）
· 频率越高，铁芯越要用铁氧体（避免涡流）
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第 6 站（26-30 min） 贯穿实例：把 8Ω 喇叭变成 800Ω
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【题目】
一对耦合线圈：L₁ = 4H、L₂ = 1H、k = 0.5。
一个变压器：N₁ = 1000、N₂ = 100。
变压器副边接 8Ω 喇叭，原边接放大器（最佳负载 800Ω）。
【第 1 步：互感系数】
M = k√(L₁L₂) = 0.5 × √(4×1) = 1H
【第 2 步：耦合线圈的等效电感（两种接法）】
顺串（异名端相连）：L = 4 + 1 + 2×1 = 7H
反串（同名端相连）：L = 4 + 1 − 2×1 = 3H
注意：题目若问"哪种接法电感大"，答案是异名端相连（顺串）。
【第 3 步：去耦（若同名端相连）】
化成 T 形：L₁−M = 3H、L₂−M = 0H、M = 1H
校验：3 + 0 = 3H = 反串 ✓
（L₂−M = 0 表示那一臂相当于导线，正常）
【第 4 步：变压器的阻抗变换】
n = N₁/N₂ = 1000/100 = 10
Zin = n²·ZL = 10² × 8 = 800Ω
→ 放大器看到的就是 800Ω，正好匹配 ✓
【第 5 步：算一算电压电流（假设原边 100V）】
U₁ = 100V
U₂ = U₁/n = 10V
I₂ = U₂/ZL = 10/8 = 1.25A
I₁ = I₂/n = 0.125A
校验功率：
P₁ = U₁I₁ = 100 × 0.125 = 12.5W
P₂ = U₂I₂ = 10 × 1.25 = 12.5W 相等 ✓
→ 理想变压器确实不耗能。如果这 12.5W 全部进了喇叭，
那么用 10:1 的变压器比直接接（8Ω 对 800Ω 严重失配）能多送上十几倍功率。
【结果一览】
M = 1H
顺串 7H / 反串 3H（异名端相连为顺串）
去耦 T 形：3H、0H、1H
n = 10，Zin = 800Ω，P₁ = P₂ = 12.5W
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自测：12 题检验这一章
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1. 含互感时，线圈的伏安关系比普通电感多了什么项？
2. 互感电压的符号由什么决定？怎么判断？
3. 耦合系数 k 的定义和范围？k = 1 意味着什么？
4. 顺串和反串的等效电感公式分别是什么？
5. 哪种接法是顺串？为什么（从磁通角度解释）？
6. 两线圈同名端相连，去耦后的 T 形三个臂是什么？
7. 去耦等效的适用条件是什么？
8. 理想变压器的三条理想化假设是什么？
9. 理想变压器的电压比、电流比、阻抗比分别是什么？
10. 为什么阻抗比是 n 的平方？
11. 变压器能用于直流吗？为什么？
12. L₁=4H、L₂=1H、M=1H，求顺串和反串的等效电感。
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参考答案
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1. 多了互感项 jωM·İ（或时域的 M·di/dt）。
2. 由【同名端】决定：两电流都从同名端流入取 +，一进一出取 −。
3. k = M/√(L₁L₂)，0 ≤ k ≤ 1；k = 1 表示全耦合、无漏磁。
4. 顺串 L = L₁+L₂+2M；反串 L = L₁+L₂−2M。
5. 异名端相连为顺串。因为这样两个电流都从各自的同名端流入，
产生的磁通方向相同、互相加强，所以等效电感变大。
6. L₁−M、L₂−M、M（三个臂构成 T 形）。
7. 必须【有一端相连】；完全隔离的两线圈不能去耦。
8. 无损耗、全耦合（k=1）、自感互感趋于无穷但比值有限。
9. U₁/U₂ = n；I₁/I₂ = 1/n；Zin/ZL = n²。
10. 因为 Z = U/I，电压乘了 n，电流又除了 n，两次叠加就是 n²。
11. 不能。直流时磁通不变化，副边没有感应电压，变压器不工作。
12. 顺串 4+1+2 = 7H；反串 4+1−2 = 3H。
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本章最容易犯的 6 个错
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1. 顺串/反串与同名端/异名端的对应关系记反
正确：异名端相连 = 顺串 = +2M；同名端相连 = 反串 = −2M。
用"k=1 时某接法得 L=0"去验证，就不会错。
2. 互感电压的符号随手写
必须先找到同名端，再判断"电流是从同名端流入还是流出"。
3. 去耦公式用错场合
同名端相连用 L₁−M、L₂−M、M；异名端相连用 L₁+M、L₂+M、−M。
两套公式别混。
4. 对完全隔离的两线圈去耦
没有公共端就不能去耦，必须保留 jωM·İ。
5. 阻抗比漏掉平方
Zin = n²ZL，不是 n·ZL。电压电流是一次，阻抗是二次。
6. 认为变压器可以变直流
变压器靠磁通变化工作，直流时副边没电压。
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这一章和后面的关系
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· 第 10 章（频率响应与谐振）：互感线圈和电容一起会形成"耦合谐振"，
是滤波器设计的核心。
· 第 11 章（三相电路）：三相变压器有 Y/Δ 接法，本章的变比关系
对每一相都成立。
· 第 12 章（非正弦周期）：互感对每个谐波的作用不同（jωM 含 ω），
所以变压器对不同频率的响应不一样。
· 第 13 章（二端口）：变压器本质就是一个二端口网络，
它的 T 参数、Z 参数都能写出来。
一句话：这一章只有"同名端定符号"这一个新知识点，
剩下的全是第 8 章相量法的直接应用。
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