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邱关源《电路》第 6 版 · 第 8~9 章
相量法与正弦稳态电路分析 —— 30 分钟速通
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适用对象：学完第 1~7 章（会节点法、网孔法、戴维南定理）
预计用时：30 分钟（相量法不难，难在"敢不敢用复数算"）
教材对应：第 8 章（相量法）+ 第 9 章（正弦稳态电路的分析）
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全章地图：这一章到底在讲什么
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前面七章处理的都是【直流】——电压电流不随时间变。
这一章开始处理【正弦交流】：电压电流每秒变化 50 次。
直接列微分方程？那就完蛋了：
u = L·di/dt，而 i 是正弦的，求导以后相位变了……
整个电路要解微分方程组，比第 7 章还难十倍。
相量法就是来解决这个问题的：它把【微分方程】变成【复数代数方程】。
求导 → 乘以 jω
解正弦电路 → 解复数电路，用节点法、网孔法、戴维南定理照样干
一句话：这一章不是新知识，而是把前七章的全部工具【搬进复数域】。
一共五件事：
① 复数与正弦量的三要素 （8-1、8-2）
② 相量法的原理：为什么能这么干 （8-3） ← 核心
③ 三个元件的相量形式 + 阻抗 （8-4）
④ 阻抗的串并联与相量图解法 （8-4、9-x）
⑤ 正弦稳态功率：有功、无功、视在、功率因数 （9-x） ← 考试重灾区
时间表：
0 - 5 min 第 1 站 复数与正弦量的三要素
5 - 11 min 第 2 站 相量法为什么成立
11 - 17 min 第 3 站 三个元件的相量形式与阻抗
17 - 22 min 第 4 站 阻抗串并联 + 相量图解法
22 - 26 min 第 5 站 正弦稳态功率
26 - 30 min 第 6 站 贯穿实例：一个 3-4-5 电路算到底
★★ 贯穿全章的实例（数值特意选成 3-4-5）★★
R = 3Ω 与 L（感抗 XL = 4Ω）串联，接 u = 10√2·cos(ωt) V。
· 阻抗：Z = 3 + j4 = 5∠53.13° Ω
· 电流：İ = U̇/Z = 2∠−53.13° A（有效值 2A，滞后 53.13°）
· 电压：UR = 6V，UL = 8V，而总电压 10V
· 功率：P = 12W，Q = 16var，S = 20VA
每一组都是 3-4-5 直角三角形，全程不用计算器 ——
这就是为什么教科书都用它当例子。
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第 1 站（0-5 min） 复数与正弦量的三要素
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【复数：三种写法，两种运算】
直角坐标：A = a + jb
极坐标 ：A = |A|∠θ
换算 ：|A| = √(a² + b²)，θ = arctan(b/a)
a = |A|cosθ，b = |A|sinθ
运算规则（这是全部考点）：
【加减】用直角坐标：实部加实部，虚部加虚部
【乘除】用极坐标：模相乘除，角相加减
所以做题时来回切换是常态，别嫌麻烦。
几个常用值（背下来提速）：
j = 1∠90° −j = 1∠−90° 1/j = −j
j² = −1 10∠53.13° = 6 + j8（3-4-5）
【正弦量的三要素】
i(t) = Im · cos(ωt + φ)
Im（幅值） 波峰有多高
ω （角频率） 转多快，ω = 2πf = 2π/T
φ （初相） t = 0 时转到了哪个角度
工频 50Hz：
T = 1/50 = 20ms
ω = 2π×50 = 314 rad/s
【有效值（RMS）：交流电的"等效直流量"】
定义：一个交流电和多大的直流电在同样电阻上产生同样的热量，那个
直流值就叫这个交流电的有效值。
I = Im/√2 ≈ 0.707·Im
所以家里的 220V 是【有效值】，它的幅值是：
220 × √2 = 311V
为什么非要搞出个有效值？
因为功率计算要用它：P = I²R 里的 I 必须是有效值。
交流电表、铭牌上的数，全是有效值。
★ 相量法里默认用【有效值相量】：
u = 10√2·cos(ωt) V ⇔ U̇ = 10∠0° V
那个 √2 就是用来把幅值换成有效值的。
【相位差】
两个【同频率】的正弦量才能比较相位：
φ = φu − φi
φ ＞ 0：电压【超前】电流（电路呈感性）
φ ＜ 0：电压【滞后】电流（电路呈容性）
φ = 0：同相（纯电阻）
注意：不同频率的两个正弦量谈相位差没有意义。
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第 2 站（5-11 min） 相量法为什么成立
对应教材 8-3
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【一句话原理】
一个长度 Im、初始角 φ 的箭头，以 ω 逆时针旋转，
它在实轴上的投影就是 u(t) = Im·cos(ωt + φ)。
所以"研究正弦量"可以换成"研究那个旋转箭头"。
【为什么能省掉 ω】
同一个电路里，所有电压电流都是【同一个 ω】（电源的频率）。
既然大家频率一样，就不必每次都写出来，只留【幅值】和【初相】即可。
剩下的这两样（幅值、初相）正好就是一个【复数】：
U̇ = U∠φ （U 用有效值还是幅值都行，但全篇必须统一）
这个复数就叫【相量】，字母上面加个点。
【三条翻译规则（全部相量法就这三条）】
① 时域 → 相量
u = Um·cos(ωt+φ) ⇒ U̇ = (Um/√2)∠φ
② 求导 → 乘 jω
du/dt ⇒ jω·U̇
（这条最关键。因为 d/dt[e^(jωt)] = jω·e^(jωt)，
再乘以 jω 就等于求一次导，而且相位信息自动处理好了）
③ 相量 → 时域
U̇ = U∠φ ⇒ u = √2·U·cos(ωt+φ)
【于是电路定律全部照搬】
KCL：Σİ = 0 （和直流的 Σ I = 0 一样）
KVL：ΣU̇ = 0 （和直流的 Σ U = 0 一样）
这就是相量法最大的红利：前七章的方法一个字不用改，
只要把"实数"换成"复数"、"R"换成"Z"。
【必须注意的三点】
1. 相量不是正弦量。相量是个复数，正弦量是时间的函数。
写成"İ = 5A"是错的，要写"İ = 5∠0° A"或"I = 5A（有效值）"。
2. 相量法只适用于【线性】电路、且所有激励【同频率】。
不同频率的源不能混在一个相量图里（第 12 章非正弦周期就是处理这个）。
3. 只有正弦量的稳态才能用相量法。
换路后的暂态（第 7 章）不归它管。
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第 3 站（11-17 min） 三个元件的相量形式与阻抗
对应教材 8-4
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【电阻 R】
u = Ri ⇒ U̇ = R·İ
电压与电流【同相】。
【电感 L】
u = L·di/dt ⇒ U̇ = jωL·İ
记 XL = ωL（感抗，单位 Ω），则 U̇ = jXL·İ。
电压【超前】电流 90°。
感抗随频率增大：频率越高，电感越"挡"。直流时 f = 0 ⇒ XL = 0（短路），
和第 6 章"电感直流稳态相当于短路"完全一致 ✓
【电容 C】
i = C·du/dt ⇒ İ = jωC·U̇ ⇒ U̇ = İ/(jωC) = −j·İ/(ωC)
记 XC = 1/(ωC)（容抗，单位 Ω），则 U̇ = −jXC·İ。
电压【滞后】电流 90°。
容抗随频率【减小】：频率越高，电容越"通"。直流时 f = 0 ⇒ XC → ∞（开路），
和第 6 章"电容直流稳态相当于开路"完全一致 ✓
【阻抗 Z：把三个元件统一起来】
Z = U̇ / İ
于是三个元件可以写成统一形式：
电阻：Z = R （纯实数）
电感：Z = jXL = jωL （纯虚数，正）
电容：Z = −jXC = 1/(jωC) （纯虚数，负）
阻抗也是复数，可以写成 Z = |Z|∠φ：
|Z| 叫阻抗模，φ 叫阻抗角（就是电压超前电流的角度）
导纳 Y = 1/Z = İ/U̇，单位 S（西门子）。
并联电路用导纳算更方便（和直流的电导一样）。
【算两个数感受一下（f = 50Hz，ω = 314）】
L = 0.1H → XL = ωL = 31.4Ω
C = 10μF → XC = 1/(ωC) = 318.3Ω
同样频率下，10μF 的电容比 0.1H 的电感"更难通过"10 倍。
而且注意：容抗的量级在低频时非常大 —— 这就是为什么工频电路里
小电容基本等于开路。
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第 4 站（17-22 min） 阻抗串并联与相量图解法
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【串并联：公式和第 2 章一模一样】
串联：Z = Z₁ + Z₂ + … （直接相加，复数相加）
并联：1/Z = 1/Z₁ + 1/Z₂ + … （倒数和）
分压：U̇₁ = U̇ · Z₁/(Z₁+Z₂)
分流：İ₁ = İ · Z₂/(Z₁+Z₂)
完全可以照第 2、3 章的做法，只是把 R 换成 Z、实数换成复数。
【相量图解法（考试常考，也是最快的检查手段）】
把各电压相量按【首尾相接】画出来，合成相量就是总电压 ——
这就是相量图的 KVL。
串联电路特别有用，因为【电流相同】：
以电流 İ 为基准（画成水平向右）
电阻电压 U̇R 与 İ 同相 → 水平
电感电压 U̇L 超前 İ 90° → 竖直向上
电容电压 U̇C 滞后 İ 90° → 竖直向下
于是 R-L 串联的电压三角形就是一个直角三角形：
U = √(UR² + UL²) φ = arctan(UL/UR)
【★ 最容易错的一点：电压不能直接相加】
R-L 串联里 UR = 6V、UL = 8V，总电压【不是】14V，而是 10V。
因为两个电压相位差 90°，必须在相量（复数）里相加：
U̇R + U̇L = 6∠−53.13° + 8∠36.87° = 10∠0° ✓
这就是为什么必须用相量法：它管住了相位。
同理：串联电路里 U̇L 或 U̇C 完全可能【大于】总电压 U
（RLC 串联谐振时可达几十倍，第 10 章会讲）。
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第 5 站（22-26 min） 正弦稳态功率
对应教材 9-5、9-6
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交流电路里"功率"不止一个数，而是三个。这是考试重灾区。
【三个功率】
有功功率 P（单位 W，瓦）
真正做功、发热的功率，就是平均功率
P = U·I·cosφ = I²R
无功功率 Q（单位 var，乏）
在电源和储能元件之间来回交换、不做功的那部分
Q = U·I·sinφ = I²X
视在功率 S（单位 VA，伏安）
电压有效值乘电流有效值，是"设备容量"
S = U·I = √(P² + Q²)
【三者的关系：功率三角形】
S² = P² + Q²
cosφ = P/S ← 这就是【功率因数】
φ 就是阻抗角，也是电压超前电流的角度。
所以相量图和功率三角形是【相似三角形】。
【正负号的含义】
Q ＞ 0：感性电路（电感为主），电流滞后电压
Q ＜ 0：容性电路（电容为主），电流超前电压
Q = 0：纯电阻，P = S，cosφ = 1
【为什么工程上关心功率因数】
S = UI 决定了设备（发电机、变压器）要多大。
但用户真正用到的是 P。
cosφ 越低，为了供同样的 P 就需要更大的 S —— 白白占用了设备容量，
还在输电线上多烧了损耗。
所以工厂都要"提高功率因数"（并联电容器），
这是第 10 章谐振和工程实践的结合点。
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第 6 站（26-30 min） 贯穿实例：一个 3-4-5 电路算到底
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【题目】
R = 3Ω 与 L（XL = 4Ω）串联，接 u = 10√2·cos(ωt) V（有效值 10V）。
求：电流 İ、各元件电压、以及 P/Q/S。
【第 1 步：写阻抗】
Z = R + jXL = 3 + j4
|Z| = √(3²+4²) = 5Ω
φ = arctan(4/3) = 53.13°
→ Z = 5∠53.13° Ω
【第 2 步：求电流】
U̇ = 10∠0° V
İ = U̇/Z = 10∠0° ÷ 5∠53.13° = 2∠−53.13° A
读法：有效值 2A，比电压【滞后】53.13°（因为电路是感性的）。
注意：极坐标除法是"模相除、角相减"。
【第 3 步：各元件电压（乘法要模相乘、角相加）】
U̇R = R·İ = 3 × 2∠−53.13° = 6∠−53.13° V （UR = 6V）
U̇L = j4·İ = 4∠90° × 2∠−53.13° = 8∠36.87° V （UL = 8V）
校验 KVL（复数相加）：
U̇R + U̇L = (3.6 − j4.8) + (6.4 + j4.8) = 10 + j0 = 10∠0° ✓
恰好等于 U̇，说明没算错。
校验电压三角形：
√(6² + 8²) = 10 ✓
【第 4 步：功率】
有功：P = I²R = 2² × 3 = 12W
或 P = UIcosφ = 10 × 2 × 0.6 = 12W ✓ 两种算法一致
无功：Q = I²XL = 2² × 4 = 16var
或 Q = UIsinφ = 10 × 2 × 0.8 = 16var ✓
视在：S = UI = 10 × 2 = 20VA
校验功率三角形：
P² + Q² = 144 + 256 = 400 = 20² = S² ✓
功率因数：cosφ = P/S = 12/20 = 0.6
【第 5 步：回时域】
İ = 2∠−53.13° A ⇒ i(t) = 2√2·cos(ωt − 53.13°) A
记住乘回 √2 —— 因为相量用的是有效值。
【结果一览】
Z = 5∠53.13° Ω 感性
I = 2A（滞后 53.13°）
UR = 6V，UL = 8V，U = 10V（6²+8²=10²）
P = 12W，Q = 16var，S = 20VA，cosφ = 0.6
三组数都是 3-4-5，这就是教科书偏爱它的原因。
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自测：12 题检验这一章
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1. 正弦量的三要素是什么？工频 50Hz 的 ω 和 T 各是多少？
2. 有效值和幅值的关系？220V 有效值对应多少幅值？
3. 相量法能成立的两个前提是什么？
4. 求导在相量域对应什么运算？
5. 电阻、电感、电容的相量关系分别是什么？
6. 感抗和容抗的公式？它们随频率怎么变？
7. 直流时 L 和 C 分别相当于什么？（用感抗容抗解释）
8. 阻抗 Z 的定义式？|Z| 和 φ 分别叫什么？
9. R-L 串联，UR = 6V、UL = 8V，总电压是多少？为什么不是 14V？
10. 有功、无功、视在功率的公式和单位分别是什么？
11. 功率因数 cosφ 怎么算？为什么工程上要提高它？
12. R = 3Ω、XL = 4Ω、U = 10V，求 I、φ、P、Q、S。
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参考答案
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1. 幅值 Im、角频率 ω、初相 φ。50Hz 时 ω = 2π×50 ≈ 314 rad/s，T = 20ms。
2. I = Im/√2；220V 有效值 → 幅值 220√2 ≈ 311V。
3. ① 线性电路；② 所有激励同频率。（而且只用于稳态）
4. 乘以 jω（所以电感的 u = L·di/dt 变成 U̇ = jωL·İ）。
5. 电阻 U̇ = Rİ；电感 U̇ = jωL·İ；电容 U̇ = İ/(jωC) = −jXC·İ。
6. XL = ωL（随频率增大），XC = 1/(ωC)（随频率减小）。
7. 直流 f = 0：XL = 0 → 电感相当于短路；XC → ∞ → 电容相当于开路。
8. Z = U̇/İ；|Z| 叫阻抗模（电压电流有效值之比），φ 叫阻抗角（电压超前电流的角度）。
9. U = √(6²+8²) = 10V。因为 UL 与 UR 相位差 90°，必须在相量上相加，
不能直接加数值。
10. P = UIcosφ（W）、Q = UIsinφ（var）、S = UI（VA），且 S² = P² + Q²。
11. cosφ = P/S = R/|Z|。cosφ 低则同样 P 需要更大 S，设备容量被浪费，
线路损耗也更大，所以工厂并联电容补偿。
12. |Z| = 5Ω，I = 10/5 = 2A，φ = 53.13°（电流滞后），P = I²R = 12W，
Q = I²XL = 16var，S = UI = 20VA（校验 S² = P²+Q²）。
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本章最容易犯的 8 个错
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1. 电压/电流直接相加
UR = 6V、UL = 8V 就以为总电压 14V。必须用相量（复数）相加。
2. 相量里混用幅值和有效值
全篇必须统一。标准做法用有效值相量（U = Um/√2）。
3. 把相量写成"等于正弦量"
相量是复数，正弦量是时间函数。回去时要写 i = √2·I·cos(ωt+φ)。
4. 乘除时用直角坐标
极坐标乘除最方便：模相乘除、角相加减。加减才用直角坐标。
5. 电容的阻抗漏掉负号
Z_C = −jXC，不是 +jXC。漏负号会让相量图整个反了。
6. 认为 UL 或 UC 不能大于 U
串联谐振时 UL、UC 可以是 U 的几十倍。这是第 10 章的重点。
7. 无功功率当成"没用的功率"
Q 不做功，但它在电源和储能元件之间来回交换，是客观存在的物理量，
单位是 var 不是 W。
8. 功率因数用错角度
cosφ 里的 φ 是【阻抗角】，也就是电压超前电流的角度，
不是电压或电流自己的初相。
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这一章和后面的关系
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· 第 9 章（含耦合电感）：互感也写成 jωM·İ，本章方法直接套用。
· 第 10 章（频率响应与谐振）：XL、XC 随 ω 变化，
当 XL = XC 时谐振，这就是滤波器和谐振电路的原理。
· 第 11 章（三相电路）：三组相量、相位差 120°，本章的相量图变成"三相对称星形"。
· 第 13 章（复频域分析）：把 jω 换成 s，就是拉普拉斯变换 ——
本章的阻抗概念直接升级成"运算阻抗"。
· 第 16 章（二端口）：端口参数都是复数（Z 参数、Y 参数）。
一句话：从这一章开始，后面的所有分析都在【复数域】里做。
相量法不是一种"技巧"，而是交流电路唯一的工作语言。
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相量图已设置避免跨页断开，正文按 10pt 排版。