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邱关源《电路》第 6 版 · 第 7 章
一阶电路和二阶电路的时域分析 —— 30 分钟速通
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适用对象：学完第 1~6 章（尤其第 6 章的电容、电感）
预计用时：30 分钟（第 2 站的三要素法是本章的命根子）
教材对应：第 7 章 7-1 ~ 7-4
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全章地图：这一章到底在讲什么
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前六章的电路都是"即时"的：开关一变，各处电压电流立刻跟着变。
这一章不一样：因为有了电容和电感，换路之后电压电流要【慢慢过渡】。
中间这段过程叫【暂态】，怎么描述它，就是这一章的全部内容。
这一章只回答一个问题：
换路以后，uC(t)、iL(t) 随时间怎么变？
一共五件事：
① 换路定则与初始条件：0⁻、0⁺、∞ 三个时刻 （7-1）
② 一阶电路的三要素法 （7-2） ← 核心
③ 三种响应：零输入、零状态、全响应 （7-2）
④ 二阶电路：RLC 的三种情况 （7-3）
⑤ 阶跃响应与冲激响应 （7-4） ← 了解
时间表：
0 - 5 min 第 1 站 换路定则：三个时刻
5 - 13 min 第 2 站 三要素法：一条公式打天下
13 - 18 min 第 3 站 三种响应的分解
18 - 24 min 第 4 站 二阶电路：振不振看 R
24 - 27 min 第 5 站 阶跃与冲激（3 分钟够了）
27 - 30 min 第 6 站 贯穿实例：能量去哪了
★★ 贯穿全章的实例（接第 6 章那个 RC 电路）★★
Us = 10V、R = 1kΩ、C = 1μF，t = 0 时合上开关给电容充电。
第 6 章用【恒流源】充过这个电容，得到了 10V 和 50μJ。
这一章换成【恒压源 + 电阻】，看看过程有什么不同。
核心结论预告：
τ = RC = 1ms
uC(t) = 10(1 − e^(−t/τ))，永远到不了 10V，只能无限接近
电源总共供出 100μJ，电容只存下 50μJ —— 另一半烧在电阻上了
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第 1 站（0-5 min） 换路定则：三个时刻
对应教材 7-1
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【什么叫换路】
开关动作、元件参数突变、电源接入或断开 —— 都叫换路，记在 t = 0。
换路把时间轴分成三段：
0⁻ 换路【前】的一瞬间（旧稳态）
0⁺ 换路【后】的一瞬间
∞ 再过很久（新稳态）
【换路定则：只有两条】
uC(0⁺) = uC(0⁻) 电容电压不能跃变
iL(0⁺) = iL(0⁻) 电感电流不能跃变
为什么？第 6 章讲过了：
u 跃变 → du/dt 无穷大 → i = C·du/dt 无穷大 → 需要无穷大功率，做不到。
i 跃变 → di/dt 无穷大 → u = L·di/dt 无穷大 → 同样做不到。
【这两个初始值是全章的地基】
换路以后，电路的"历史"就被压缩成这两个数。
只要知道 uC(0⁺)、iL(0⁺)，后面的过程就完全确定了。
注意：不是所有量都不能跃变。
能跃变的：电阻电流、电容电流、电感电压、电源电流
不能跃变：只有电容电压、电感电流这两个
【三个时刻，三种算法】
t = 0⁻ 按【稳态】算：C 开路、L 短路 → 得 uC(0⁻)、iL(0⁻)
t = 0⁺ 用【换路定则】搬过来 → 得 uC(0⁺)、iL(0⁺)
再画 0⁺ 等效电路：
电容换成"电压值为 uC(0⁺) 的电压源"
电感换成"电流值为 iL(0⁺) 的电流源"
于是 0⁺ 时刻就是一个纯电阻电路，其它量全能用节点法算出来
t = ∞ 再按【稳态】算一遍：C 又开路、L 又短路 → 得新稳态值
【这一站要练到三个数随手能报】
拿贯穿实例走一遍：
t = 0⁻：电容没充过电，uC(0⁻) = 0；电容开路所以 i(0⁻) = 0
t = 0⁺：定则给 uC(0⁺) = 0，但此时开关已合、
相当于电容瞬间是短路 → i(0⁺) = 10V/1kΩ = 10mA
t = ∞ ：电容充满相当于开路 → uC(∞) = 10V、i(∞) = 0
三个时刻都算出来了，第 2 站就能一步写出表达式。
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第 2 站（5-13 min） 三要素法：一条公式打天下
对应教材 7-2
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【公式（背下来，全章都用它）】
f(t) = f(∞) + [ f(0⁺) − f(∞) ] · e^(−t/τ)
三个要素：
f(0⁺) 初始值（第 1 站算）
f(∞) 稳态值（C 开路、L 短路后算）
τ 时间常数
【适用范围（很重要，不能乱用）】
· 一阶电路：只含【一个】独立储能元件（一个 C 或一个 L）
· 直流激励（多个直流源也可以）
· 换路后电路结构不再变化
二阶电路（两个独立储能元件）不能用这个公式，见第 4 站。
【时间常数 τ】
RC 电路：τ = R·C
RL 电路：τ = L/R ← 注意是【除】
其中 R 是"从储能元件两端看进去的等效电阻"：
把其它独立源置零、把储能元件拿掉，看进去的电阻。
量纲检查：Ω·F = s ✓，H/Ω = s ✓（对不上就是记错了）
【τ 的物理意义（不背也能推）】
τ 是"衰变到初始变化量的 1/e = 36.8%"所需的时间。
常用记忆点：
1τ → 变化了 63.2%
3τ → 95%
5τ → 99.3%（工程上认为过程结束）
注意：τ 只由电路结构和参数决定，和电源电压【无关】。
换个电源，曲线形状不变，只是纵轴刻度变了。
【三步走（照这个顺序做，不会乱）】
第 1 步 求 f(0⁺)
先按稳态算 uC(0⁻) 或 iL(0⁻)；
用换路定则搬到 0⁺；
画 0⁺ 等效电路（C→电压源、L→电流源）求目标量。
第 2 步 求 f(∞)
把 C 当开路、L 当短路，重新算一遍电路。
第 3 步 求 τ
从储能元件看进去求 R_eq，再 τ = R_eq·C 或 L/R_eq。
然后套公式，完事。
【贯穿实例走一遍】
求 uC(t)：
f(0⁺) = uC(0⁺) = 0
f(∞) = uC(∞) = 10V
τ = RC = 1kΩ × 1μF = 1ms
uC(t) = 10 + (0 − 10)e^(−t/τ) = 10(1 − e^(−t/τ)) V
代入几个时刻：
t = 1τ = 1ms → uC = 10(1 − 0.368) = 6.32V
t = 3τ = 3ms → uC = 9.50V
t = 5τ = 5ms → uC = 9.93V
注意：数学上 uC 永远到不了 10V（指数只趋近），
工程上认为 5τ 以后就算充满了。
求 i(t)（电流）：i(t) 也可以直接用三要素法：
i(0⁺) = 10mA
i(∞) = 0
τ = 1ms
i(t) = 0 + (10 − 0)e^(−t/τ) = 10e^(−t/τ) mA
★ 三要素法对【任何】一个一阶电路的【任何】一个量都成立，
不只是 uC 和 iL。只要它能用同一个 τ，就能套这个公式。
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第 3 站（13-18 min） 三种响应的分解
对应教材 7-2 后半
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同样一条曲线，可以按两种方式拆开。两种拆法都对，看题目要什么。
【拆法一：按"谁引起的"拆】
零输入响应：没有电源，只靠电容/电感的初始储能
f(t) = f(0⁺)·e^(−t/τ) （最终归零）
零状态响应：初始储能为零，只靠电源
f(t) = f(∞)·(1 − e^(−t/τ)) （最终到稳态）
全响应 = 零输入 + 零状态
= f(0⁺)e^(−t/τ) + f(∞)(1 − e^(−t/τ))
= f(∞) + [f(0⁺) − f(∞)]e^(−t/τ) ← 就是三要素公式
所以三要素公式本身就是"零输入 + 零状态"合并的结果。
【拆法二：按"变化快慢"拆】
强制分量（稳态分量）：f(∞)，由电源决定，一直存在
自由分量（暂态分量）：[f(0⁺) − f(∞)]e^(−t/τ)，由初始差值决定，逐渐消失
两种拆法只是分类角度不同，数值完全一致。
【举个全响应的例子（第 6 站会用到）】
设 uC(0⁻) = 4V（电容已经有电），合上开关接 10V 电源：
f(0⁺) = 4V，f(∞) = 10V，τ = 1ms
uC(t) = 10 + (4 − 10)e^(−t/τ) = 10 − 6e^(−t/τ)
t = 0 → 4V（从 4V 开始）
t = 1τ → 10 − 6×0.368 = 7.79V
t = 3τ → 10 − 6×0.0498 = 9.70V
拆开看：
零输入 = 4e^(−t/τ)（4V 那部分在放电）
零状态 = 10(1 − e^(−t/τ))（电源在充电）
加起来正好是全响应 ✓
【一句话】
全响应可以随便拆成两部分之和，但【不能把功率拆开算】
（和第 4 章叠加定理"功率不能叠加"是同一个道理）。
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第 4 站（18-24 min） 二阶电路：振不振看 R
对应教材 7-3
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【什么叫二阶】
电路里有【两个】独立的储能元件（一个 C 加一个 L），
列出来的方程是二阶微分方程，所以叫二阶电路。
【RLC 串联的零输入响应】
设 L、C 已储能，t = 0 后没有电源，只有 R 消耗能量。
方程：LC·uC″ + RC·uC′ + uC = 0
特征方程：s² + (R/L)s + 1/(LC) = 0
记两个量：
α = R / (2L) 衰减系数（决定"消耗多快"）
ω0 = 1 / √(LC) 谐振角频率（决定"想振多快"）
【四种情况：只比较 α 和 ω0】
α ＞ ω0 过阻尼 两个不等负实根 不振荡，慢慢回零
α ＝ ω0 临界阻尼 两个相等负实根 最快回到零且不振荡
α ＜ ω0 欠阻尼 一对共轭复根 振荡着衰减
α ＝ 0 无阻尼 一对纯虚根 等幅振荡（R = 0）
R = 0 时没有电阻消耗能量，能量在 L 和 C 之间来回倒，永远振下去。
【临界阻尼对应的电阻（常考）】
α = ω0 ⇒ R/(2L) = 1/√(LC)
⇒ R = 2√(L/C)
记忆：2 倍根号（L 除以 C）。是这个电阻值，阻尼恰好临界。
【贯穿数值：L = 1H、C = 1F、uC(0) = 10V】
ω0 = 1/√(1×1) = 1 rad/s
α = R/(2×1) = R/2
R = 4Ω → α = 2 ＞ 1 过阻尼 s₁ = −0.268, s₂ = −3.732
R = 2Ω → α = 1 ＝ ω0 临界 s₁ = s₂ = −1
R = 1Ω → α = 0.5 ＜ 1 欠阻尼 s = −0.5 ± j0.866
R = 0Ω → α = 0 无阻尼 s = ±j1
校验临界值：2√(L/C) = 2√(1/1) = 2Ω ✓ 与 R = 2Ω 对应。
【做题只要三步】
① 算出 α 和 ω0
② 比较大小，判断属于哪种情况
③ 写出对应形式的解（考试通常只要求判断类型和写特征根）
注意：二阶电路的初始条件要用【两个】——
一个 uC(0⁺)，一个 iL(0⁺)（或者 duC/dt(0⁺)）。
因为二阶方程需要两个初始条件才能定解。
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第 5 站（24-27 min） 阶跃响应与冲激响应
对应教材 7-4
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这一站内容少，考得也少，知道概念即可。
【单位阶跃 ε(t)】
ε(t) = 0 （t ＜ 0）
ε(t) = 1 （t ＞ 0）
就是"t = 0 时从 0 跳到 1"。乘以 U 就是"t = 0 接入一个 U 的直流源"。
阶跃响应 s(t)：电路对单位阶跃的零状态响应。
因为一阶电路的三要素法本来就在处理"突然接入"，所以阶跃响应
其实就是三要素公式在 f(0⁺) = 0 时的特例：
s(t) = f(∞)(1 − e^(−t/τ))·ε(t)
【单位冲激 δ(t)】
一个面积等于 1、宽度趋于 0 的极窄脉冲。
物理意义：给电容瞬间注入电荷，或给电感瞬间建立电流
（相当于"猛地撞一下"）。
冲激响应 h(t)：电路对单位冲激的零状态响应。
【两者的关系（一句话）】
h(t) = ds(t)/dt
冲激是阶跃的导数，所以冲激响应是阶跃响应的导数。
记住这一条，两者就不用分开背了。
【时不变性（也常考）】
如果激励延迟了 t0 才加上，响应也整体延迟 t0，形状不变：
激励 ε(t − t0) → 响应 s(t − t0)
这叫"线性时不变电路"的基本性质。
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第 6 站（27-30 min） 贯穿实例：能量去哪了
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【先看过程】
Us = 10V、R = 1kΩ、C = 1μF、τ = 1ms
uC(t) = 10(1 − e^(−t/τ)) V
i(t) = 10e^(−t/τ) mA
t = 0⁺ uC = 0，i = 10mA（电流最大，因为电容还像短路）
t = 1τ uC = 6.32V，i = 3.68mA
t = 5τ uC = 9.93V，i ≈ 0.07mA（基本充满）
曲线是"电流一路衰减、电压一路升高"，两者恰好互补。
【再算能量账（本章最漂亮的一个结论）】
电容最终储存：W_C = ½CU² = ½ × 1μF × (10V)² = 50μJ
电容上的总电荷：Q = CU = 1μF × 10V = 10μC
电源供出的能量：W_s = Us × Q = 10V × 10μC = 100μJ
（电源一直输出 10V，总共送出 10μC 电荷，所以作功 100μJ）
电阻烧掉的能量：W_R = W_s − W_C = 100 − 50 = 50μJ
【结论：效率永远是 50%】
不管 R 取 100Ω、1kΩ 还是 10kΩ，
电容最后都存 50μJ，电阻都烧 50μJ。
R 只决定充得【多快】（τ = RC），不决定充【多少】。
这一点很反直觉：以为"电阻小一点损耗就小"，其实不会。
要减少损耗只有一条路 —— 不用电阻充电（恒流源、开关电源）。
【和第 6 章那个恒流充电对比】
第 6 章：10mA 恒流源充 1ms → uC = 10V，储能 50μJ
电源只供出 50μJ，效率 100% ✓
第 7 章：10V 恒压源串 1kΩ → uC → 10V，储能 50μJ
电源供出 100μJ，效率 50%
同样把电容充到 10V，恒流源比恒压源省一半能量。
这就是为什么高效充电电路都用恒流/开关方式。
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自测：12 题检验这一章
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1. 换路定则的两条式子是什么？
2. 换路后的 0⁺ 等效电路里，电容和电感分别看作什么元件？
3. 三要素法公式的三个要素分别怎么求？
4. RC 电路和 RL 电路的时间常数公式分别是什么？
5. τ 的物理意义是什么？3τ、5τ 分别到多少？
6. 三要素法能用在二阶电路上吗？
7. 全响应可以拆成哪两部分？两种拆法分别是什么？
8. 为什么"功率不能叠加"？
9. 二阶电路里判断"振不振"要比较哪两个量？
10. 临界阻尼对应的电阻是多少？
11. 冲激响应和阶跃响应是什么关系？
12. R = 1kΩ、C = 1μF、Us = 10V，求 τ、uC(1τ)、以及电源供出的总能量。
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参考答案
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1. uC(0⁺) = uC(0⁻)；iL(0⁺) = iL(0⁻)。
2. 电容看成"电压值为 uC(0⁺) 的电压源"；电感看成"电流值为 iL(0⁺) 的电流源"。
3. f(0⁺) 由换路定则 + 0⁺ 等效电路求；f(∞) 由 C 开路、L 短路后的电路求；
τ 由"从储能元件两端看进去的等效电阻"乘/除得出。
4. RCT 电路 τ = RC；RL 电路 τ = L/R。
5. 衰减到初始变化量的 1/e（36.8%）所需的时间；3τ 到 95%，5τ 到 99.3%。
6. 不能。三要素法只适用于一阶电路（一个独立储能元件）。
7. ① 零输入响应 + 零状态响应；② 强制分量（稳态）+ 自由分量（暂态）。
8. 因为功率与电流/电压是二次关系，而叠加定理只对一次（线性）量成立。
9. 比较 α = R/(2L) 与 ω0 = 1/√(LC)。
10. R = 2√(L/C)。
11. h(t) = ds(t)/dt，冲激响应是阶跃响应的导数。
12. τ = RC = 1kΩ × 1μF = 1ms；uC(1τ) = 10(1 − e⁻¹) = 6.32V；
电源供出 W_s = Us·C·Us = 100μJ（其中 50μJ 存进电容，50μJ 烧在电阻上）。
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本章最容易犯的 8 个错
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1. 把 τ = RC 套到 RL 电路上
RL 是 τ = L/R（除）。量纲对不上就是记错了。
2. 求 τ 时忘了"从储能元件看进去"
不是随便挑一个电阻，要把其它源置零、元件拿掉再求。
3. 0⁺ 等效电路画错
电容要换成【电压源】（不是短路），电感换成【电流源】（不是开路）。
只有 uC(0⁺) = 0 时电容才可以当短路，iL(0⁺) = 0 时电感才可以当开路。
4. 用三要素法算二阶电路
二阶电路有两个储能元件，公式不成立。
5. 以为 uC 真的能到 Us
指数只是趋近，永远达不到。工程上 5τ 后算充满。
6. 忘记 τ 与电源无关
τ 只由 R、L、C 决定。换电源只改变 f(∞)，不改变 τ。
7. 二阶电路只给一个初始条件
二阶方程需要两个：uC(0⁺) 和 iL(0⁺)（或 duC/dt(0⁺)）。
8. 把"功率"也拆开叠加
零输入功率 + 零状态功率 ≠ 全响应的功率。
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这一章和后面的关系
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· 第 8 章（相量法）：本章的 e^(−t/τ) 是"暂态"，
第 8 章开始研究"稳定后的正弦响应"，直接跳过暂态。
· 第 9 章以后：所有分析都在稳态下做，但换路、暂态的概念一直要用。
· 第 14 章（复频域分析）：用拉普拉斯变换一次性解出全响应，
比本章的"猜特解 + 定常数"高明得多 —— 本章是三要素法的原理版。
· 实践课（模电、控制）：一阶系统的时间常数、二阶系统的阻尼比
就是本章的 α 和 ω0，一个字都没变。
一句话：这一章难在"要动微积分"，但考试套路极其固定 ——
三要素法 + 二阶判别。把这两样练熟，这章就是送分题。
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打印提示
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电路图与曲线已设置避免跨页断开，正文按 10pt 排版。