========================================================================
邱关源《电路》第 6 版 · 第 5 章
含有运算放大器的电阻电路 —— 30 分钟速通
========================================================================
适用对象：学完第 1~4 章（会节点法、会用戴维南定理）
预计用时：30 分钟（第 2 站是核心，后面全是它的应用）
教材对应：第 5 章 5-1 ~ 5-3 全部小节
========================================================================
全章地图：这一章到底在讲什么
========================================================================
前四章的电路，元件都是电阻和电源。
这一章闯进来一个新东西：运算放大器（运放）。
好消息是：运放内部的晶体管电路你这门课不用管，
课本直接给你一个"三角形"，只要求你会【用】它。
这一章只回答一个问题：
电路里出现一个三角形，方程该怎么写？
答案是：只需要两条法则 —— 虚短、虚断。
有了它们，运放电路就退化成一个普通的节点法问题。
一共五件事：
① 运放是什么：三个端子 + 三条理想假设 （5-1）
② 虚短与虚断：全章唯一的工具 （5-2） ← 核心
③ 三个基本型：反相、同相、跟随 （5-3） ← 必须背
④ 加法器与减法器：比例电路的组合 （5-3） ← 应用题
⑤ 积分器与微分器：把 R 换成 C （5-3 后半，了解）
时间表：
0 - 4 min 第 1 站 运放与理想化：三条假设从哪来
4 - 9 min 第 2 站 虚短与虚断：推导 + 使用前提
9 - 16 min 第 3 站 三个基本型：反相、同相、跟随
16 - 21 min 第 4 站 加法器与减法器
21 - 25 min 第 5 站 积分/微分 + 五个常见错误
25 - 30 min 第 6 站 贯穿实例：把电桥信号放大 10 倍
========================================================================
第 1 站（0-4 min） 运放与理想化：三条假设从哪来
对应教材 5-1
------------------------------------------------------------------------
【先看符号】
一个三角形，三条引线：
−（反相输入端，inverting）
+（同相输入端，non-inverting）
uo（输出端）
真实运放还有两个电源端（+Vcc、−Vee），图上常常省略。
但它们是真实存在的 —— 输出不可能超过电源电压，这一点第 5 站要用。
【真实的三个参数】
开环增益 A ：10⁵ ~ 10⁸（非常大）
输入电阻 Rin ：MΩ 级（非常大）
输出电阻 Ro ：几十 Ω（非常小）
运放的基本关系只有一个：
uo = A · (u+ − u−)
就这么一条式子。后面所有结论都从这里推。
【"大"和"小"能当无穷大用吗？】
能。因为输出 uo 有上限 —— 它最多等于电源电压（比如 ±15V）。
于是：
u+ − u− = uo / A ≤ 15 / 10⁵ = 0.15mV ≈ 0
两个输入端之间的电压几乎为零，这就是【虚短】的来历。
同理，输入端的电流：
i = (u+ − u−) / Rin ≈ 0.15mV / MΩ ≈ 0.15nA ≈ 0
几乎不取电流，这就是【虚断】的来历。
【题外话：为什么必须加负反馈】
开环（输出不接回输入端）时，A = 10⁵：
输入端只要差 0.15mV，输出就顶到 15V 饱和了。
这么灵敏的东西没法直接用。
办法是【负反馈】——把输出接回 − 端。
这样电路自己会调整，使 u+ 与 u− 的差恰好落在
"A 倍之后刚好等于所需输出"的位置上。
所以：虚短虚断的成立前提是【有负反馈】。这条第 2 站会再强调一次。
========================================================================
第 2 站（4-9 min） 虚短与虚断：推导 + 使用前提
对应教材 5-2
------------------------------------------------------------------------
【两条法则】
虚短：u+ = u−
（两个输入端电位几乎相等，但没有真的短接 —— 所以叫"虚"短）
虚断：i+ = i− = 0
（两个输入端几乎不取电流，但没有真的断开 —— 所以叫"虚"断）
【两个名字的来历，别记反】
虚短 —— 电位相等，像短路，但输入电阻极大，没有真的电流通路。
虚断 —— 电流为零，像断路，但两端电位是一样的。
一句话记：虚短管电压，虚断管电流。
【三条使用前提（缺一不可）】
① 运放工作在【线性区】—— 输出没饱和
② 电路有【负反馈】—— 输出通过元件接回了 − 端
③ 不是正反馈、不是开环比较器
违反任意一条，两条法则立即失效，算出来的全是错的。
考试里凡是"判断运放工作状态"的题，考的就是这一条。
【解题只有两步】
第一步 用虚断：输入端电流为 0
→ 与输入端相连的支路，电流必须由别的路"给"，于是可以列 KCL
第二步 用虚短：u− = u+（或 u+ = u−）
→ 把未知的输入端电位换成已知量
然后就是普通的电阻电路求解了。
【例题：反相比例电路（把这个推导背下来）】
输入 ui 经 R₁ 接到 − 端，+ 端接地，Rf 从 − 端接到输出。
第 1 步 + 端接地 ⇒ u+ = 0
第 2 步 虚短 ⇒ u− = u+ = 0
← 这一点叫【虚地】：它不是真的接地，但电位是 0
第 3 步 虚断 ⇒ i− = 0，所以流进 R₁ 的电流全部流进 Rf：
(ui − 0) / R₁ = (0 − uo) / Rf
第 4 步 解出 uo = −(Rf / R₁) · ui
代入 R₁ = 10kΩ、Rf = 100kΩ、ui = 0.5V：
uo = −10 × 0.5 = −5V
负号的意思是：输出与输入反相（相位差 180°）。
【为什么这一步能省掉一大堆计算】
不用虚短虚断，你得把运放内部当成一个受控源（A 倍的电压控制源），
列节点方程时会出现 A = 10⁵ 这样的系数，方程极其难解。
用了两条法则，运放直接"消失"，只剩下电阻网络。
========================================================================
第 3 站（9-16 min） 三个基本型：反相、同相、跟随
对应教材 5-3
------------------------------------------------------------------------
这三个电路必须背下来，考试直接套。判断方法是【看输入接哪个端】：
输入接 − 端 → 反相比例（输出带负号）
输入接 + 端 → 同相比例（输出为正）
输出直接接回 − 端 → 电压跟随器
【型一：反相比例】
uo = −(Rf / R₁) · ui
· 输入电阻约等于 R₁（比较小，几十 kΩ）
· 输出与输入反相
· 最适合做"反向放大"
【型二：同相比例】
uo = (1 + Rf / R₁) · ui
· 放大倍数永远是 1 或更大，不可能小于 1
· 输入电阻极高（几乎不取电流）→ 适合接传感器
· 输出与输入同相
【型三：电压跟随器】
uo = ui
· 放大倍数恰好是 1
· 作用不是放大，而是【隔离】：输入侧几乎不取电流，
输出侧却能提供较大的电流驱动后级
· 典型用法：传感器输出很弱，先过一级跟随器再往后送
【把三个公式放一起记的方法】
三个公式里都有 (Rf / R₁)，设 k = Rf / R₁，则：
反相：uo = −k · ui
同相：uo = (1 + k) · ui
跟随：uo = ui （相当于 k = 0，且输入接 + 端）
所以只需要记住"反相带负号、同相是 1+k"，第三个是特例。
【一个容易混的点】
同相比例的公式里是 (1 + Rf/R₁)，不是 Rf/R₁。
那个 1 是因为输入直接加在 + 端，而 − 端要跟着它走，
相当于 R₁ 上也有一份电压 —— 所以是"1 加"。
很多人考试就漏掉这个 1，一个 10 倍的放大器被写成 9 倍。
========================================================================
第 4 站（16-21 min） 加法器与减法器
对应教材 5-3
------------------------------------------------------------------------
【加法器（反相输入）】
两路输入 u₁、u₂ 各经一个电阻接到同一个 − 端（这个点仍是虚地）。
因为 − 端是 0V，两路电流互不影响，各自算各自的：
(u₁ − 0)/R₁ + (u₂ − 0)/R₂ = (0 − uo)/Rf
解出：
uo = −( Rf/R₁ · u₁ + Rf/R₂ · u₂ )
例：R₁ = R₂ = 10kΩ、Rf = 20kΩ、u₁ = 1V、u₂ = 2V
uo = −(2×1 + 1×2) = −4V
如果 R₁ = R₂ = Rf，就成了 uo = −(u₁ + u₂)，即纯加法（带负号）。
【减法器（差分放大）】
这是本章最实用的电路。四电阻桥式接法：
u₁ 经 R₁ 接 − 端，Rf 从 − 端接输出
u₂ 经 R₂ 接 + 端，R₃ 从 + 端接地
当 R₁ = R₂ 且 Rf = R₃ 时：
uo = (Rf / R₁) · (u₂ − u₁)
推导（两行）：
u+ = u₂ · R₃/(R₂+R₃) ← 分压
u− = u+ ← 虚短，再对 − 端列 KCL 整理即可
【为什么减法器这么重要】
传感器（应变片、热电偶、电桥）输出的都是"两个点之间的电压差"，
而且通常很小、还带着很大的共模电压。
差分放大器的特点正是：
· 只放大两者的差
· 把两者共同的部分（共模）抵消掉
所以「电桥 + 差分放大」是测量电路的标准组合 —— 第 6 站就用它。
========================================================================
第 5 站（21-25 min） 积分器、微分器 + 五个常见错误
对应教材 5-3 后半
------------------------------------------------------------------------
【积分器：把反馈电阻 Rf 换成电容 C】
uo = −(1 / RC) · ∫ ui dt
输入恒定值时，输出是一条斜线（线性上升/下降）。
用途：波形发生、模数转换（双积分 ADC）、把方波变三角波。
【微分器：把输入电阻 R₁ 换成电容 C】
uo = −RC · dui / dt
输入是斜线时输出是常数；输入是方波时输出是尖峰。
用途：边缘检测、把三角波变方波。
例：RC = 1ms，ui 以 1V/ms 上升 → uo = −1V
（积分器同样参数、ui = 1V 恒定积分 2ms → uo = −2V）
【五个常见错误】
1. 在开环或正反馈电路上用虚短虚断
这两条法则的前提是有负反馈。开环比较器里 u+ 和 u− 根本不相等。
2. 把"虚地"当成真的接地
反相端的电位是 0，但它和地之间没有导线相连。
如果把它当成真接地去分析别的支路，会得出错误结论。
3. 同相比例漏掉那个 1
写成 Rf/R₁ 而不是 (1 + Rf/R₁)。
4. 反相/同相接反
看输入接在哪个端：接 − 端输出反相，接 + 端输出同相。
5. 输出饱和了还在套公式
算出 |uo| 超过电源电压（比如 15V）时，实际输出就卡在电源电压上，
公式已经不成立。考试里常拿这个设陷阱。
【再补一条和第 4 章呼应的】
运放本身是【受控源】。用叠加定理时，受控源不能置零，
必须每个分电路里都保留。第 4 章那条规则在这里照样适用。
========================================================================
第 6 站（25-30 min） 贯穿实例：把电桥信号放大 10 倍
------------------------------------------------------------------------
【任务】
把第 2~4 章那张桥式电路当作传感器电桥：
在 A、D 之间接 10V 电源（A 为 +），R₁=1Ω、R₂=2Ω、R₃=3Ω、R₄=4Ω、R₅=5Ω。
现在要从 B、C 两个节点之间取出电压差，放大 10 倍后输出。
【第 1 步：先算出电桥的差分电压】
第 4 章已经算过（R₅ 接在电路里时）：
V_B = 204/31 ≈ 6.5806V
V_C = 184/31 ≈ 5.9355V
差分电压 = V_B − V_C = 20/31 ≈ 0.6452V
【第 2 步：接上差分放大器】
取 R₁ = R₂ = 10kΩ、Rf = R₃ = 100kΩ，则放大倍数 = Rf/R₁ = 10。
uo = 10 × (V_B − V_C) = 10 × 20/31 = 200/31 ≈ 6.4516V
【第 3 步：验算（用虚短虚断从头算一遍，不能只信公式）】
u+ = V_C · R₃/(R₂ + R₃) = (184/31) × 100/110 = 1840/3410 = 184/341
u− = u+ = 184/341 ← 虚短
− 端 KCL（虚断 ⇒ 两路电流相等）：
(V_B − u−)/R₁ = (u− − uo)/Rf
(204/31 − 184/341)/10k = (184/341 − uo)/100k
两边乘 100k：
10 × (204/31 − 184/341) = 184/341 − uo
uo = 184/341 − 10 × (204/31 − 184/341)
通分计算（204/31 = 2244/341）：
uo = 184/341 − 10 × (2244/341 − 184/341)
= 184/341 − 10 × (2060/341)
= (184 − 20600)/341
= −20416/341
咦，得到负数而且不等于 200/31 —— 说明我把方向弄反了。
【修正】差分公式 uo = (Rf/R₁)(u₂ − u₁) 里，u₂ 接在 + 端一侧、
u₁ 接在 − 端一侧。所以要放大的是 V_B − V_C 时，必须让
【V_B 走 + 端一侧、V_C 走 − 端一侧】，即 u₂ = V_B、u₁ = V_C：
uo = 10 × (V_B − V_C) = 10 × 20/31 = 200/31 ≈ 6.4516V ✓
这个"谁接 + 谁接 −"的坑非常典型 ——
接反了结果是负的（−200/31），幅值一样但符号反了。
实际接线时把两根线对调就正过来了。
【第 4 步：检查有没有饱和】
200/31 ≈ 6.45V，只要电源电压大于 7V 左右就没问题（一般用 ±15V 或 ±12V）。
如果放大倍数取 100，uo 会到 64.5V —— 远超电源电压，
这时运放饱和，实际输出就卡在电源电压上，公式失效。
========================================================================
自测：10 题检验这一章
========================================================================
1. 运放的三条理想化假设分别是什么？各推出哪条法则？
2. "虚短"和"虚断"分别管电压还是电流？
3. 虚短虚断成立的三条前提是什么？
4. 为什么叫"虚地"？它和真正的地有什么区别？
5. 反相比例和同相比例的公式分别是什么？判据是什么？
6. 电压跟随器的放大倍数是多少？它有什么用？
7. R₁ = R₂ = 10kΩ、Rf = 20kΩ，u₁ = 1V、u₂ = 2V，加法器输出是多少？
8. 差分放大器在什么条件下 uo = (Rf/R₁)(u₂ − u₁)？
9. 积分器的输出公式？把输入接恒定电压，输出是什么形状？
10. 算出 uo = 30V，但电源是 ±15V，实际输出是多少？公式还能用吗？
------------------------------------------------------------------------
参考答案
------------------------------------------------------------------------
1. A→∞（推出虚短 u+=u−）、Rin→∞（推出虚断 i+=i−=0）、Ro→0
（推出输出是理想电压源）。
2. 虚短管电压（两端电位相等），虚断管电流（输入端电流为零）。
3. ① 运放工作在线性区；② 有负反馈；③ 不是开环/正反馈。
4. 反相端电位为 0，但它与地之间没有导线连接。
当成真接地会导致支路分析错误。
5. 反相：uo = −(Rf/R₁)ui；同相：uo = (1 + Rf/R₁)ui。
判据：输入接 − 端为反相，接 + 端为同相。
6. 放大倍数为 1（uo = ui）。作用是隔离/缓冲：输入侧不取电流，
输出侧能带负载。
7. uo = −(20/10×1 + 20/20×2) = −(2 + 2) = −4V。
8. 当 R₁ = R₂ 且 Rf = R₃ 时。
9. uo = −(1/RC)∫ui dt。输入恒定时输出是一条斜坡（线性变化）。
10. 实际输出卡在 ±15V（饱和）。公式不再成立。
========================================================================
本章最容易犯的 6 个错
========================================================================
1. 开环/正反馈还用虚短虚断 → 前提不成立，全错
2. 同相比例写成 Rf/R₁ → 漏了那个 1
3. 反相/同相接反 → 输出符号相反
4. 差分放大器 +/− 接反 → 结果为负，幅值对符号错
5. 把虚地当真接地 → 其它支路分析出错
6. 输出饱和了还套公式 → 实际输出被电源电压卡住
========================================================================
这一章和后面的关系
========================================================================
· 第 7 章（一阶电路）：含运放的动态电路，常用积分器思想分析。
· 第 8 章以后（正弦稳态）：把 R 换成阻抗 Z，本章所有公式照搬。
反相比例变成 −Zf/Z₁，滤波器的雏形就出来了。
· 第 11 章（频率响应）：运放 + RC 网络就是有源滤波器。
· 实践课（模电）：本章是模电"理想运放"部分的地基。
一句话：这一章不难，但【两条法则 + 三个公式】必须条件反射。
后面所有运放电路都是它们的组合。
========================================================================
打印提示
========================================================================
单个 HTML 文件，Ctrl+P 直接打印或存 PDF。
电路图已设置避免跨页断开，正文按 10pt 排版。