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邱关源《电路》第 6 版 · 第 4 章
电路定理 —— 30 分钟速通
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适用对象：学完第 1~3 章（会标方向、会等效变换、会节点法/网孔法）
预计用时：30 分钟（第 3、4 站是重点，占一半时间）
教材对应：第 4 章 4-1 ~ 4-4（4-5~4-7 只需了解）
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全章地图：这一章到底在讲什么
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前三章的路子是"把方程列对，然后解"。
这一章换了个路子：不列方程，靠几个定理直接看出来。
差别在哪？
节点法解一个五节点电路，要解 4 元一次方程组；
用戴维南定理，可能只要求一个开路电压、除一下，就完了。
代价是：定理有【适用条件】。用错了条件，答案会错得很自然
—— 看起来算得挺顺，结果全错，这是本章最大的坑。
这一章五件事：
① 叠加定理：多个源 → 拆成一个一个算 （4-1） ← 每年必考
② 替代定理：已知的电压/电流 → 换成源 （4-2） ← 会用就行
③ 戴维南 / 诺顿定理：含源单口塌缩成两个元件 （4-3） ← 全章核心
④ 最大功率传输：负载取多大最划算 （4-4） ← 选择题高频
⑤ 特勒根 / 互易 / 对偶：了解概念即可 （4-5~4-7）
时间表：
0 - 4 min 第 1 站 叠加定理：三个禁令比公式更重要
4 - 7 min 第 2 站 替代定理：三句话讲完
7 - 15 min 第 3 站 戴维南定理：本章的发动机
15 - 20 min 第 4 站 求等效电阻 Req 的三种方法
20 - 26 min 第 5 站 诺顿定理 + 最大功率传输
26 - 30 min 第 6 站 贯穿实例收尾 + 自测
★★ 贯穿全章的实例（还是那张桥式电路）★★
这一章给它加一个电源：
在 A、D 之间接一个 10V 电压源（A 端为 +），R₁=1Ω、R₂=2Ω、
R₃=3Ω、R₄=4Ω、R₅=5Ω，求【R₅ 中的电流】。
为什么换成这个问题：
第 2 章用 Y-Δ、第 3 章用节点法，求的都是"等效电阻"；
这一次求的是某一条支路的电流 —— 这正是戴维南定理最擅长的题型。
答案预告：I₅ = 4/31 ≈ 0.1290A。
后面会用【戴维南定理】和【直接节点法】两条路分别算，必须相等。
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第 1 站（0-4 min） 叠加定理：三个禁令比公式更重要
对应教材 4-1
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【定理本身，一句话】
线性电路中，多个独立源共同作用时在某处产生的响应（电压或电流），
等于各独立源【单独作用】时在该处产生的响应的【代数和】。
数学上就是：把一个多源电路拆成 n 个单源电路，分别求解，然后相加。
【三个禁令 —— 这才是考点】
① 只能用于【线性】电路
电路里有非线性元件（二极管、非线性电阻）就不能用。
② 不作用的源必须【置零】，不是"拿掉"
电压源置零 = 用【导线】代替（短路）
电流源置零 = 用【开路】代替（断开）
这一步做错，后面全错。判断口诀：源的"特性"是什么就让它变成什么
—— 电压源电压为 0 就是两端等电位，即导线；
电流源电流为 0 就是没有电流通过，即断开。
③ 【功率不能叠加】
因为 P = I²R、P = U²/R 都是二次的，线性关系不成立。
④ 补充一条（也是考点）：【受控源不能置零】
受控源不是独立源，它在每个分电路里都要原样保留。
【例题：拆开算一遍】
U₁ = 12V 串 R₁ = 3Ω，U₂ = 6V 串 R₂ = 6Ω，两者共同接到 R₃ = 2Ω 上。
U₁ 单独作用（U₂ 短路 → 把 U₂ 换成导线）：
V_A′ = 12 × (6∥2) / (3 + 6∥2) = 12 × 1.5 / 4.5 = 4V
U₂ 单独作用（U₁ 短路）：
V_A″ = 6 × (3∥2) / (6 + 3∥2) = 6 × 1.2 / 7.2 = 1V
叠加：V_A = 4 + 1 = 5V （直接用节点法校验：(12/3 + 6/6)/1 = 5 ✓）
但功率不能叠加：
真实功率 P = V_A²/R₃ = 25/2 = 12.5W
两分量的功率之和 = 4²/2 + 1²/2 = 8 + 0.5 = 8.5W ≠ 12.5W
【什么时候用它】
· 电路里有多个源、且要求某一处的响应
· 想单独看"某个源对这个量贡献了多少"（灵敏度分析）
· 电路对称、拆开以后每一半都很好算
不适合：源很多（拆成 5 个电路更累）、含非线性元件。
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第 2 站（4-7 min） 替代定理：三句话讲完
对应教材 4-2
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① 如果已知某条支路的电压 Uk，那么这条支路可以整个换成一个
电压为 Uk 的【独立电压源】，电路其它部分的电压电流全都不变。
② 同理，已知某支路电流 Ik，可换成电流为 Ik 的【独立电流源】。
③ 前提：替代之后电路仍然【有唯一解】。
【为什么要它】
它常常和叠加定理、戴维南定理配合使用 ——
把"不好处理的支路"换成一个源，整个电路就变成"纯源 + 电阻"的
标准形状，后面怎么算都方便。
【注意】
替代定理对线性和非线性电路都成立（这是它比叠加定理更广的地方），
但替代源的方向、大小必须和原来完全一致（包括参考方向）。
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第 3 站（7-15 min） 戴维南定理：本章的发动机
对应教材 4-3
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【定理本身】
任何一个【含源线性单口网络】，对外都可以等效为：
一个电压源 Uoc（等于端口开路电压）【串联】一个电阻 Req
（Req = 把内部独立源全部置零后的端口等效电阻）
换成诺顿定理就是：并联形式 ——
一个电流源 Isc（等于端口短路电流）【并联】同一个 Req
（Isc = Uoc / Req）
两个定理是同一件事的两种写法，做题时任选一个。
【三步走（背下来）】
第 1 步 求 Uoc：把负载拿掉，算端口上的开路电压
第 2 步 求 Req：把内部独立源置零，算端口的等效电阻
第 3 步 画等效电路，接上负载，算你要的量
【必须理解的一句话】
戴维南等效【只是对外等效】。
外部看到的 U-I 关系一模一样，但内部的电流分布、各电阻的功率
完全变了。所以：
· 求外部负载的电流电压 → 可以用等效电路
· 求内部某个电阻消耗的功率 → 必须回到原电路
这一点和 2.3 节"对外等效 ≠ 对内等效"是同一句话，别忘。
【例题：把桥式电路塌缩成两个元件】
拿掉 R₅，求 B、C 之间的戴维南等效。
第 1 步 求 Uoc（此时 B、C 之间开路）
A、D 之间是 10V。上支路 A—R₁—B—R₂—D 是一条串联分压：
V_B = 10 × R₂/(R₁+R₂) = 10 × 2/3 = 20/3 ≈ 6.667V
下支路 A—R₃—C—R₄—D 同理：
V_C = 10 × R₄/(R₃+R₄) = 10 × 4/7 = 40/7 ≈ 5.714V
所以 Uoc = V_B − V_C = 20/3 − 40/7 = 20/21 ≈ 0.9524V
第 2 步 求 Req（把 10V 源置零 = A、D 短接）
从 B 看进去：R₁ 到 A、R₂ 到 D，而 A、D 现在是同一个点，
所以 R₁ 与 R₂ 并联。
从 C 看进去：R₃ 与 R₄ 并联。
两部分串联：
Req = (1∥2) + (3∥4) = 2/3 + 12/7 = 50/21 ≈ 2.381Ω
第 3 步 接上 R₅ = 5Ω
I₅ = Uoc / (Req + R₅) = (20/21) / (50/21 + 5)
= (20/21) / (155/21) = 20/155 = 4/31 ≈ 0.1290A
★ 用第 3 章的节点法直接算这个电路：
V_B = 204/31 ≈ 6.5806V，V_C = 184/31 ≈ 5.9355V
I₅ = (V_B − V_C)/5 = (20/31)/5 = 4/31 ✓ 完全一致
一条路是"塌缩成两个元件"，一条路是"解 2 元方程组"，
得到同一个 4/31，说明定理用对了。
【戴维南定理最典型的三种考法】
① 只求某一条支路的电流/电压（像上面这样）
② 含受控源的电路求等效电路（必须用外加电源法求 Req）
③ 最大功率传输（求 Req 再套公式，见第 5 站）
第 ③ 种几乎每年出选择题，且计算量小，是性价比最高的得分点。
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第 4 站（15-20 min） 求等效电阻 Req 的三种方法
对应教材 4-3 后半
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三种方法选错，答案就错。判断标准只有一个：电路里有没有受控源。
【方法一：置零法（源置零后串并联）】
适用：纯电阻电路（不含受控源）
做法：把独立源置零，然后串并联、Y-Δ 一路化简下去。
例：（上面那个）Req = (1∥2) + (3∥4) = 50/21Ω
【方法二：外加电源法】
适用：任何情况，含受控源时必须用它
做法：内部独立源置零（受控源保留），在端口外加一个电压 U，
求出端口电流 I（或反过来外加电流求电压），则
Req = U / I
为什么必须用到它：受控源不能置零，所以没法"纯串并联化简"，
只能外加电源硬算。
【方法三：开路短路法】
适用：任何情况
做法：Req = Uoc / Isc
Uoc 是端口开路电压，Isc 是端口短路电流。
优点：两个量都是"实测"式的，不容易绕晕。
缺点：要算两次；如果短路电流恰为 0（比如对称电桥），就失效。
【用三种方法核对同一个 Req（50/21Ω）】
置零法： (1∥2) + (3∥4) = 2/3 + 12/7 = 50/21 ≈ 2.3810Ω
开路短路法：把 B、C 短接，两节点并成一点 V = 32/5 = 6.4V
Isc = (10−6.4)/1 − 6.4/2 = 3.6 − 3.2 = 0.4A
Req = Uoc/Isc = (20/21)/0.4 = (20/21)×(5/2) = 50/21 ✓
外加电源法：留给你自己练（答案同样是 50/21）
三种方法收敛到同一个数，是检查 Req 有没有算错的最好办法。
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第 5 站（20-26 min） 诺顿定理 + 最大功率传输
对应教材 4-3、4-4
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【诺顿定理】
同一个含源单口网络，也可以等效为【电流源 Isc 并联 Req】。
Isc = Uoc / Req （就是端口的短路电流）
Req 和戴维南的 Req 是【同一个】电阻
什么时候用诺顿：负载是并联结构、或者题目直接给的是电流源时更好算。
戴维南和诺顿之间可以随时互换 —— 这就是第 2 章的"电源等效变换"，
只不过这里的"内阻"是 Req。
【最大功率传输定理】
一个含源单口网络接上可变负载 R_L，当
R_L = Req
时，负载获得的功率最大，最大值为
P_max = Uoc² / (4 Req)
用贯穿实例的数：Uoc = 20/21V、Req = 50/21Ω
P_max = (20/21)² / (4 × 50/21) = (400/441) × (21/200) = 2/21
≈ 0.0952W
【三个必须说清的点（选择题就考这些）】
① 最大功率 ≠ 效率最高
匹配时 R_L = Req，两者各分一半电压，各消耗一半功率，
所以【效率只有 50%】。要求高效率就不能匹配（比如电力系统）。
② 公式里的 Req 是"从负载两端看进去"的等效电阻，不是随便一个电阻。
③ 如果 R_L 不可变（固定负载），想让它拿到最大功率，
就要反过来改【内阻】—— 让 Req = R_L（这叫"模匹配"，考试少见）。
④ P_max = Uoc²/(4Req) 只在"负载可调、内阻固定"时直接用。
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第 6 站（26-30 min） 贯穿实例收尾 + 常见错误
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【把整条链路串一遍】
要求：桥式电路 + 10V 电源，求 I₅
第 1 步 识别：只有一个负载支路 R₅ 是我们关心的 → 想到戴维南
第 2 步 拿掉 R₅，求 Uoc：
上支路分压 V_B = 20/3，下支路分压 V_C = 40/7
Uoc = 20/3 − 40/7 = 20/21 ≈ 0.9524V
第 3 步 源置零（A、D 短接），求 Req：
Req = (R₁∥R₂) + (R₃∥R₄) = 2/3 + 12/7 = 50/21 ≈ 2.381Ω
第 4 步 接上负载：I₅ = Uoc/(Req + R₅) = 4/31 ≈ 0.1290A
第 5 步 验算：节点法得 V_B = 204/31、V_C = 184/31，
I₅ = 4/31 ✓
【本章最容易犯的 8 个错】
1. 不作用的源"拿掉"而不是"置零"
电压源要换成导线，电流源要断开。拿掉电压源 = 断路，错。
2. 用叠加定理算功率
功率不能叠加。只能先用叠加求电压/电流，再用 P = I²R 算功率。
3. 把受控源也置零
受控源不是独立源，不能置零，每个分电路里都要保留。
4. 求 Req 时忘了把独立源置零
不置零算出来的是"带源"的等效电阻，数值必然错。
5. 认为戴维南等效"对内也等效"
只对外等效。求内部功率必须回原电路。
6. 开路短路法里 Isc 的方向搞反
Req 是正数。若算出负数，多半是 Isc 的参考方向和 Uoc 不一致。
7. 最大功率公式里用了错的 Req
必须是从负载两端看进去的 Req，不是电路里随便哪个电阻。
8. 认为"最大功率传输"时效率最高
效率只有 50%，一半功率消耗在内阻上。
【三种方法怎么选（一张表记完）】
工具 什么时候用 方程量级
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叠加定理 多个独立源、求某处响应 n 个单源电路
替代定理 已知某支路电压/电流 配合其它定理
戴维南/诺顿 只关心某一条支路 1 次开路 + 1 次求 Req
最大功率 负载可调、问功率最值 建立在戴维南之上
节点法/网孔法 源多、要全部支路电流 第 3 章那套
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自测：10 题检验这一章
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1. 叠加定理里，不作用的电压源和电流源分别怎么处理？
2. 为什么功率不能叠加？举一个数字例子。
3. 受控源在叠加定理的各分电路里怎么处理？
4. 替代定理的前提条件是什么？
5. 戴维南等效电路的两个参数分别是什么？怎么求？
6. 戴维南等效是"对外等效"还是"对内等效"？这对做题有什么影响？
7. 含受控源的电路，求 Req 为什么不能用置零法？
8. 诺顿等效的 Isc 和戴维南的 Uoc 是什么关系？
9. 负载获得最大功率时，效率是多少？
10. 用贯穿实例的数算出 P_max（Uoc = 20/21V、Req = 50/21Ω）。
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参考答案
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1. 电压源置零 = 用导线短路；电流源置零 = 断开（开路）。
2. 因为 P = I²R 是电流的二次函数，不满足线性关系。
例：U₁、U₂ 单独作用时 R₃ 上功率是 8W 和 0.5W，同时作用为 12.5W，
而 8 + 0.5 = 8.5 ≠ 12.5。
3. 受控源不能置零，在每个分电路里都原样保留。
4. 替代后的电路必须有唯一解（一般线性电路都满足）。
5. Uoc（端口开路电压）和 Req（内部独立源置零后的端口等效电阻）。
6. 只对外等效。求外部负载的电压电流可以用等效电路；
求内部元件的功率、电流分布必须回到原电路。
7. 因为受控源不能置零，电路无法化简成纯串并联，只能外加电源法
（或开路短路法）。
8. Isc = Uoc / Req，两者对应同一个 Req。
9. 50%（另一半消耗在 Req 上）。
10. P_max = Uoc²/(4Req) = (20/21)²/(4×50/21) = 2/21 ≈ 0.0952W。
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这一章和后面的关系
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· 第 5 章（运放）：虚短虚断之后，剩下的常是"求戴维南等效电阻"。
· 第 7 章（一阶电路）：三要素法里的"稳态值"和"时间常数"，
求稳态值时经常要把电路化成戴维南等效再看。
· 第 8 章以后：所有这些定理在相量域完全照搬，只是 R 变 Z。
· 第 16 章（二端口）：戴维南/诺顿的思想直接推广成二端口参数。
一句话：这一章的定理不是为了"多做一种题"，
而是为了【后面每一章都能少算一半】。
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