03 · 多重循环与图形输出

任何字符图形都只有三件事：第 i 行先打几个空格、再打几个什么字符、打完换行。把前两件事写成含 i 的表达式，代码就只剩机械翻译。

例题 P5721 没有空格，只有“两位数”。两位数固定占 2 个字符，所以每行字符数 = 2 × 每行个数：

两列数一写出来，循环边界就定了：外层 i = 1..n，内层 j = 1..n-i+1，内层循环体只干一件事——编号加一，然后打两位。

关键认知：编号 cnt 要跨行连续，所以它定义在所有 for 之外；行内计数器 j 每行归零，跨行计数器 cnt 从不归零。分清这两类变量，多重循环就不会乱。

int cnt = 0;                                  // 跨行累加，必须在两层循环之外
for (int i = 1; i <= n; ++i) {                // 外层 = 第几行
    for (int j = 1; j <= n - i + 1; ++j) {    // 内层 = 这一行第几个数
        ++cnt;
        if (cnt < 10) putchar('0');           // 一位数，补前导 0
        if (cnt >= 10) putchar('0' + cnt / 10);
        putchar('0' + cnt % 10);
    }
    putchar('\n');                            // 换行属于“行”，所以在外层
}

复杂度：内层共执行 Σ(n−i+1) = n(n+1)/2 次，n ≤ 13 时是 91 次；输出字符数 182。这个规模怎么写都不会超时，所以图形题的时间全花在“公式对不对”上，而不是“快不快”上。

所有基础字符图形都是“先空格、后字符”。把这两列的公式背下来，剩下的都是打字工作：

两列数相加就是这一行实际打出的字符总数——这意味着行末绝不能多打一个空格，公式里没有它。同一份代码打三种形状，只改上界：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main() {
    int n;
    cin >> n;

    for (int i = 1; i <= n; ++i) {                 // ① 方阵：每行都 n 个
        for (int j = 1; j <= n; ++j) putchar('*');
        putchar('\n');
    }
    putchar('\n');                                 // 图形之间空一行，方便肉眼对比

    for (int i = 1; i <= n; ++i) {                 // ② 左下三角：每行 i 个
        for (int j = 1; j <= i; ++j) putchar('*');
        putchar('\n');
    }
    putchar('\n');

    for (int i = 1; i <= n; ++i) {                 // ③ 等腰：先空格，后星号
        for (int j = 1; j <= n - i; ++j) putchar(' ');      // 空格让星号居中
        for (int j = 1; j <= 2 * i - 1; ++j) putchar('*');  // 每行多 2 个
        putchar('\n');
    }
    return 0;
}

n = 4 时第 ③ 段的输出是 3 空格+1 星、2 空格+3 星、1 空格+5 星、0 空格+7 星。星号总数 1+3+5+7 = 16 = 4²，这个等式后面数学补给里会推。

图形题的骨架可以脱离“星号”复用：把内层那一刻要输出的东西换掉，就能打任意二维表格。下面打 n×n 乘法表，每格右对齐占 4 列（取 n ≤ 99，保证 i·j ≤ 9801 放得下）。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main() {
    int n;
    cin >> n;

    for (int i = 1; i <= n; ++i) {                 // 外层：第 i 行
        for (int j = 1; j <= n; ++j) {             // 内层：第 j 列，共 n² 格
            int v = i * j;                         // 这一格的值
            int w = 1, t = v;                      // w = v 的十进制位数，至少 1 位
            while (t >= 10) { t /= 10; ++w; }      // 第三层循环：每除一次 10 少一位
            for (int k = 1; k <= 4 - w; ++k) putchar(' ');   // 右对齐：先补空格
            cout << v;                             // 再打数字本身
        }
        putchar('\n');                             // 换行只在外层
    }
    return 0;
}

这段代码里 putchar 与 cout 混着用是安全的，因为默认没有关掉 sync_with_stdio，两套流共享同一个缓冲顺序。第 1 节那句“关了同步就别混用”说的正是这个前提——一旦写了 ios::sync_with_stdio(false)，就必须全程只用一套。

总工作量 ≈ 4n²。n = 99 时约 4×10⁴，瞬间跑完；把 n 提到 10⁵ 就是 4×10¹⁰，而且输出本身有几百 GB——所以“先把量级算出来”永远排在“先写循环”前面。